تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة

تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة، هو من أكثر المواضيع التي يبحث عنها الطلاب من مختلف المراحل الدراسية، وإن الفرق بين مربعين أو ما يسمى بالفرق بين مربعي حدين يعتبر أحد أشكال المعادلات من الدرجة الثانية التربيعية، وهو يعني مربع الحد الأول مطروحاً منه مربع الحد الثاني.

مفهوم الفرق بين مربعين

• قبل أن نشرح لكم كيفية تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة، فلا بد من أن نوضح لكم أولاً ما هو مفهوم الفرق بين مربعين، حيث يعتبر مفهوم الفرق بين مربعين أحد مفاهيم الرياضيات التي تدخل ضمن علم الجبر كمعادلة من الدرجة الثانية.
• كما يعتبر هذا المفهوم كقانون من أشهر قوانين الرياضيات وأكثرها استخداماً في شتى العلوم ومختلف المراحل الدراسية للطلبة.
• وإن أول من اكتشف معادلات الدرجة الثانية والتي تتضمن الفرق بين مربعين هو العالم الخوارزمي، حيث أن الأس فيها يكون عبارة عن رقم اثنين، ويتم حل هذه المعادلات وإيجاد قيم المجاهيل فيها بعدة طرق أهمها طريقة الفق بين مربعي حدين والذي يساوي جداء فرق هذين الحدين في مجموعهما.
• أي أن الفرق بين مربعي حدين يساوي (الحد الأول – الحد الثاني) X (الحد الأول + الحد الثاني)، وأتت تسمية المربعين أو مربع الحدين من شكل المربع نفسه.
• حيث يتم اعتبار الحد الأول طول ضلع للمربع الأول، والحد الثاني طول ضلع للمربع الثاني، والفرق بين مربعي هذين الحدين يعتبر كأنه الفرق بين مساحة الشكلين المربعين نفسهما.

إليكم من هنا: الرسم البياني في الرياضيات

تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة

1- كيفية التأكد من أن المقدار الجبري هو فرق بين مربعين

• قبل شرح طريقة تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة، فيجب أن نتأكد أولاً من أن هذا المقدار الجبري أو هذه المعادلة هي من الشكل العام لقانون الفرق بين مربعي حدين وأنه يمكن استخدامه في حلها.
• ويتم التأكد من ذلك بالنظر إلى عدة أمور، منها أن ننتبه إلى أن هذه المعادلة تحتوي فقط على حدين جبريين وليس أكثر.
• إضافة إلى التأكد من أن هذين الحدين هما مربعين كاملين، وفي حال لم يكونا كذلك فيجب أن نحاول إيجاد العامل المشترك بينهما إن أمكن ذلك.
• الانتباه إلى إشارة كل من الحدين، حيث تكون إشارة الحد الأول الكبير موجبة وتكون إشارة الحد الثاني الصغير المطروح من الحد الأول سالبة، إضافة إلى أن الأس في كلا الحدين يكون موجباً ويساوي العدد اثنين أو من مضاعفاته.

2- طريقة تحليل الفرق بين مربعين

• وبعد أن عرفنا مفهوم الفرق بين مربعين وكيفية التأكد من شكله العام، نصل الآن إلى طريقة تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة عن ذلك والتي سنذكرها بعد قليل، حيث أن طريقة تحليله بسيطة جداً وغير معقدة، ومن السهل على الطلبة أن يفهموها بشكل جيد من خلال الخطوات التالية.
• يتم في البداية كما قلنا محاولة إيجاد العامل المشترك الأكبر بين كلا هذين الحدين، وفي حال وجوده نقوم بإخراجه من المقدار الجبري خارج القوس، مع الانتباه إلى إعادة ضربه في جميع العوامل في نهاية عملية التحليل.
• ثم علينا أن نجد كلا الجذرين التربيعيين لهذين الحدين، والجذر التربيعي هو المفهوم المعاكس تماماً لمفهوم مربع الحد، حيث أن مربع الحد يعني حاصل جداء هذا العدد في نفسه، أما الجذر التربيعي فهو يعني إيجاد الحد الذي ضربناه في نفسه حتى حصلنا على المحصلة.
• أي أن مربع العدد ثلاثة هو حاصل جداءه في نفسه فنحصل على العدد تسعة ونسميه مربع الثلاثة، ولإيجاد الجذر التربيعي للعدد تسعة نعكس العملية فنبحث عن العدد الذي ضربناه في نفسه حتى حصلنا على العدد تسعة فيكون الجواب هو العدد ثلاثة ونسميه الجذر التربيعي للعدد تسعة.
• وبعد إجراء العمليات السابقة نحاول جعل الشكل العام للمقدار الجبري أو المعادلة التي نريد تحليلها من شكل الفرق بين مربعين والتي تكون بصيغة (س²– ع²).
• ثم نقوم بفتح أقواس صغيرة بحث نكتب بين القوسين الأوليين عبارة مجموع جذري مربعي الحدين أي مجموع الحدين نفسهما، وبين القوسين الآخرين فرق جذري مربعي الحدين أي فرق الحدين نفسيهما، مع وضع إشارة الجداء بين كلا القوسين.
• وتصبح صيغة تحليل الفرق بين مربعين بالرموز من الشكل التالي، (س²– ع²) = (س- ع) X (س+ ع)، أما كصيغة عبارة جبرية فتكون بالشكل العام التالي، (المربع الكامل للحد الأول- المربع الكامل للحد الثاني) = (الحد الأول- الحد الثاني) مضروباً في (الحد الأول+ الحد الثاني).

ومن هنا يمكنكم التعرف على: ما هي الخوارزميات في الرياضيات؟

3- أمثلة على تحليل الفرق بين مربعين

إن معظم الطلبة يبحثون عن كيفية تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة لتوضيح هذا المفهوم وترسيخ طريقة التحليل في أذهانهم، حيث أن الأمثلة المحلولة تشكّل الجانب العملي الذي يشرح المفاهيم النظرية ويربطها بالواقع ويدعمها بشكل أكبر، وفيما يلي نوضح لكم أمثلة عن تحليل الفرق بين مربعين.

المثال الأول

• مثلاً عندما يكون السؤال حلل ما يلي إلى العوامل الأولية له 9 س²– 4، فنلاحظ أن الحد الجبري الأول 9 س² هو عبارة عن مربع كامل والجذر التربيعي له هو 3س، أما الحد الجبري الثاني 4 فهو عبارة عن مربع كامل جذره التربيعي هو العدد
• ولتحليل الفرق بين مربعي الحدين السابقين تقوم بتطبيق القانون الذي أوضحناه في الخطوات السابقة حيث يكون ناتج عملية التحليل هو (3س- 2) X (3س+ 2).

المثال الثاني

• إذا طلب مثلاً من الطالب تحليل كثير الحدود من الشكل 3 س²– 27، ففي هذه الحالة يكون الأمر مختلفاً حيث نجد أن هناك عاملاً مشتركاً أكبر بين الحد الأول والحد الثاني وهذا العامل المشترك هو الرقم ثلاثة، فنقوم بإخراج الرقم ثلاثة خارج القوس قبل إجراء عملية التحليل.
• وبعد إخراج العامل المشترك يصبح شكل المقدار الجبري 3(س^2_ 9)، وباعتبار العدد 3 غير موجود يمكننا الآن تحليل الفرق ببين المربعين لأن أصبح في صورته المطلوبة، وبعد التحليل نعيد الرقم الثلاثة خارج الأقواس لنضربه بها جميعها.
• ونجد أن الحد الجبري الأول يمثل مربعاً كاملاً جذره التربيعي هو س، وأن الحد الجبري الثاني يمثل مربعاً كاملاً جذره التربيعي هو العدد 3، فيكون تحليل كثير الحدود السابق هو 3(س- 3) X (س+ 3)، ومن المعلوم أنه عندما لا نضع أي إشارة بين العدد والقوس الذي يليه فإن العملية عندها تعني الضرب.

المثال الثالث

• عندما يبحث طلاب المدارس عن كيفية تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة، فغالباً يبحثون عن حل للتمارين التي تكون صعبة أو مختلفة بعض الشيء، فمثلاً عندما يكون المقدار الجبري من الشكل _4+ س²، فنلاحظ أن شكل هذا المقدار ليس من الشكل العام للفرق بين مربعين.
• وفي هذه الحالة قد يصعب على الطالب تحليله، لذلك سنوضح لكم كيفية القيام بهذا الأمر بكل سهولة، ففي هذا المثال نقوم بالتبديل بين مكاني هذين الحدين بحيث يصبح المقدار من الشكل س²-4، وهكذا يصبح من الشكل التقليدي الذي يمكن أن نطبق عليه قانون تحليل الفرق بين مربعي حدين.
• فالحد الأول هو س² وجذره س، والحد الثاني هو 4 وجذره العدد 2، فتصبح نتيجة التحليل هي (س- 2) X (س+ 2).

ننصحكم بزيارة مقال: ما هي الاعداد النسبية في الرياضيات؟

وإلى هنا نكون قد وصلنا إلى ختام هذا المقال والذي أوضحنا لكم فيه طريقة تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة الكافية والشاملة لذلك، إضافة إلى شرح مفهوم مربعي حدين ومن أين أتت تسميته، نتمنى أن يكون هذا المقال مفيداً لكم.