المتوسط الحسابي والانحراف المعياري
يستخدم المتوسط الحسابي والانحراف المعياري في الإحصاء لقياس مدى توزيع البيانات حول القيمة المتوسطة، حيث يشير المتوسط الحسابي إلى القيمة الوسطية للبيانات في مجموعة ما، ويتم حسابه بجمع جميع القيم في المجموعة، ومن ثم تقسيم الناتج على عدد القيم، كما أنه يستخدم بشكل شائع في الحياة اليومية.
محتويات المقال
المتوسط الحسابي والانحراف المعياري
لمعرفة الانحراف المعياري، يتم حساب الفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي، ثم يتم رفع هذا الفرق إلى الأس الثاني، ويتم جمع كل النتائج ومن ثم تقسيمها على عدد القيم ثم يتم أخذ الجذر التربيعي للناتج.
على سبيل المثال بالنسبة للمتوسط الحسابي لحساب متوسط درجات الطلاب في الامتحانات، إذا كان المتوسط الحسابي 80، فذلك يعني أن معظم الطلاب حصلوا على درجات قريبة من الـ 80، ويستخدم الانحراف المعياري لتقييم مدى انحراف القيم عن المتوسط الحسابي، حيث يوفر مؤشرًا على مدى التشتت أو التفاوت بين القيم.
استخدامات الانحراف المعياري
- يتم استخدام الانحراف المعياري أيضاً في العلوم، مثل علم الإحصاء والرياضيات،
- في دراسة الظواهر الطبيعية والاجتماعية،حيث يتم استخدام الانحراف المعياري لتحديد ما إذا كانت البيانات تتوافق مع النموذج الإحصائي أم لا.
- يستخدم لتحليل الانحرافات في درجات الحرارة، ولمعرفة تفاوتات الدخل بين العائلات في مجموعة معينة.
- يساعد المتوسط الحسابي والانحراف المعياري على تحليل البيانات وفهم الظواهر الطبيعية والاجتماعية وتحديد مدى تشتت البيانات حول القيمة المتوسطة، وعليه يبقى المتوسط الحسابي والانحراف المعياري أداة مهمة في الإحصاء.
ما هو الانحراف المعياري؟
- الانحراف المعياري هو قياس لدرجة تفاوت البيانات عن المتوسط الحسابي، حيث يقوم بحساب حجم التشتت في العينة أو البيانات، وهو معيار رياضي يقاس بالوحدات التي تمثل قيم العينة.
- يتم حساب الانحراف المعياري عن طريق جمع فروق القيم المربعة عن المتوسط الحسابي وبعد ذلك يتم حساب الجذر التربيعي للحصول على القيمة النهائية للانحراف المعياري، ويستخدم هذا المفهوم في الإحصاء والبحوث العلمية لتحليل البيانات وقياس التشتت في العينة.
- هو عبارة عن الجذر التربيعي لمتوسط الفروق المربعة بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط الحسابي لهذه القيمة، ويستخدم كمقياس لعدم تجانس البيانات في إحصاءات وعلوم الأرقام، على سبيل المثال إذا كانت مجموعة البيانات تتكون من 10 أرقام.
كيفية حساب الانحراف المعياري
يتم حساب الانحراف المعياري بالطريقة الآتية:
- حساب متوسط البيانات.
- يتم حساب الفرق بين كل عدد ومتوسط البيانات.
- يتم رفع كل فرق للأس الثاني (ضربها في نفسها).
- يتم جمع جميع الأرقام المربعة المستحقة.
- تقسيم المجموع السابق على عدد العناصر في مجموعة البيانات.
- يتم استخراج الجذر التربيعي للناتج الحاصل على الخطوة السابقة.
ما هو المتوسط الحسابي؟
- المتوسط الحسابي هو المجموع الكلي للأرقام في مجموعة من الأرقام، مقسوماً على عددها، وهو يمثل القيمة الوسطية للعينة.
- كما يتم حسابه بجمع قيم العينة ثم تقسيمها على عددها، يستخدم المتوسط الحسابي من أجل تمثيل متوسط البيانات في مجموعة معينة، فهو يمثل القيمة التي سيكون عددها وسطياً بين باقي القيم.
- يستخدم المتوسط الحسابي في الإحصاء والعديد من التطبيقات الأخرى مثل التمويل والإدارة والاقتصاد والعلوم الاجتماعية.
- المتوسط الحسابي هو القيمة التي يتم تحديدها عن طريق جمع قيم معينة وقسمتها على عددها.
استخدامات المتوسط الحسابي
يستخدم في العديد من المجالات، حيث:
- يعد المتوسط الحسابي أحد أهم أدوات الإحصاء، حيث يتيح لنا طريقة سريعة ومفيدة لتحليل البيانات والتعامل معها.
- يعد المتوسط الحسابي إحدى الطرق الأكثر شيوعًا لقياس مدى التغير والتباين في البيانات، حيث يظهر لنا بشكل واضح متوسط القيم التي تم جمعها.
- يساعد المتوسط الحسابي في تحديد مستوى العائد المتوقع والتوزيعات الاحتمالية في الأسواق المالية.
- يستخدم المتوسط الحسابي في العديد من المجالات العملية مثل حساب التكاليف وتحديد الأسعار وتقييم الأداء والقدرة على التوفير.
- يعد المتوسط الحسابي أداة مهمة في حل المشكلات الحسابية عندما يكون عدد البيانات كبيرًا وصعب التعامل معها بشكل فردي.
فوائد المتوسط الحسابي
- يمثل المتوسط الحسابي القيمة الوسطية للعينة، ويساعد في إيجاد ما إذا كانت القيم أعلى أم أقل من هذه القيمة.
- يقوم المتوسط الحسابي بتلخيص المعلومات وتبسيطها وإيجاد العلاقات الإحصائية بين البيانات.
- يساعد المتوسط الحسابي على تحليل البيانات واستنتاج النتائج الإحصائية وتوقع المستقبل بناءً على الماضي.
كما أدعوك للتعرف على: موضوع عن الانحراف المعياري
عيوب المتوسط الحسابي
- لا يعتبر المتوسط الحسابي مؤشراً جيداً في الحالات التي يوجد فيها توزيع غير منتظم للمجموعة، ويمكن أن يكون هناك تغيرات كبيرة في منطقة الذيل الطويل للتوزيع.
- لا يمكن استخدام المتوسط الحسابي للأرقام غير المرتبطة بالكميات، مثل الألوان والجنس والجنسية، فلا يوجد معنى لحساب المتوسط الحسابي لهذه الأشياء.
- يمكن أن يؤثر القيم الشاذة في المجموعة على المتوسط الحسابي، وبالتالي يمكن أن يكون غير دقيق كمؤشر للقيم الفعلية للمجموعة.
قانون المتوسط الحسابي
قانون المتوسط الحسابي هو مفهوم في الرياضيات يتمثل في أن مجموع قيم عدة أرقام سواء كانت صحيحة أو لا متقاربة، يعادل حاصل ضرب العدد الكلي للأرقام المعنوية في المجموع المتقارب بعد حذف الأرقام الكلية من نهايتها.
على سبيل المثال، بالنسبة للمجموعة {1, 2, 3, 4, 5}، يتم تطبيق قانون المتوسط الحسابي كالتالي:
- يتم جمع الأرقام في المجموعة 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
- يتم قسم مجموع الأرقام على عددها 15 ÷ 5 = 3.
- النتيجة النهائية هي 3، وهو الرقم الذي يُمثل المتوسط الحسابي للمجموعة.
كما يمكنكم الاطلاع على: نظرية ذات الحدين في الاحتمالات
كيفية حساب الانحراف المعياري
يتم حساب الانحراف المعياري بالطريقة التالية:
- حساب المتوسط الحسابي (X).
- حساب الفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي (X – Xi).
- رفع كل قيمة مضروبة بالفرق بينها وبين المتوسط الحسابي X – Xi)² ).
- حساب مجموع القيم السابقة، ثم قسمتها على عدد العناصر في البيانات، وتحويل الناتج إلى جذر تربيعي (SQRT(Σ(X – Xi)²/N)).
خصائص الانحراف المعياري
- يتزايد الانحراف المعياري بزيادة درجة التشتت في البيانات.
- يتزايد بزيادة عدد القيم الشاذة الموجودة في البيانات.
- يعتمد على المتوسط الحسابي، ويمكن أن يكون غير دقيق إذا كان المتوسط الحسابي غير تمثيلي للبيانات.
- يمكن استخدام الانحراف المعياري لمقارنة درجة التشتت في بيانات مختلفة، ولتحديد ما إذا كانت مجموعتين من البيانات متماثلتين أو مختلفتين.
- يمكن استخدام الانحراف المعياري لتحديد القيم الشاذة في البيانات، حيث يمثل أي قيمة تبعد عن المتوسط الحسابي بشكل كبير قد تكون شاذة.
عيوب الانحراف المعياري
- يمكن أن يكون متأثرًا من القيم الشاذة في البيانات، بحيث يزيد الانحراف المعياري في حالة وجود القيم الشاذة، وهذا الأمر يمكن أن يؤدي إلى تشويه القراءة النهائية لمستوى التشتت في البيانات.
- في بعض الحالات، لا يمكن استخدام الانحراف المعياري كمقياس لدرجة التشتت بسبب الزيادة في الانحراف المعياري مع زيادة العينات، وهذا ما يعرف بتأثير الحجم على الانحراف المعياري.
- يمكن أن يكون الانحراف المعياري حساسًا لحجم العينة، حيث يكون غير دقيق إذا كانت العينة صغيرة جدًا أو كبيرة جدًا.
اقرأ أيضا: خطوات البحث العلمي مع مثال توضيحي
بذلك نكون تعرفنا على المتوسط الحسابي والانحراف المعياري، حيث يطبق المتوسط الحسابي في العديد من المجالات، منها الإحصاء والرياضيات والاقتصاد، كما يستخدم الانحراف المعياري في دراسة الظواهر الطبيعية والاجتماعية وغيرها من الفوائد.