نظرية ذات الحدين في الاحتمالات

نظرية ذات الحدين في الاحتمالات من النظريات الهامة، حيث يعتبر التوزيع الاحتمالي ذو الحدين هو ما يعرف بالتوزيعات الحدانية، هو توزيع لتجربة عشوائية يكون لها ناتجان فقط أحدهما نجاح تجربة الاحتمال والأخر فشل التجربة بشرط أن احتمال النجاح لا يتأثر بتكرار التجربة.

خصائص التوزيع الثنائي

• حيث تتكون التجربة من أكثر من محاولة، أما إذا تكونت من محاولة واحدة يكون ذلك في تجربة توزيع برنولي.
• استقلال المحاولات عن بعضها بمعنى أن يكون ثبات احتمال النجاح هو p أما احتمال الفشل فيكون q.
• فهو من التوزيعات المتقطعة حيث يهتم بالتجارب التي تتكرر n من المرات.
• وأن يكون وسطه = np وتباينه = npq، ويكون الانحراف المعياري = الجذر التربيعي للتباين.
• تكون جميع هذه المحاولات متماثلة ومستقلة.
• أن يكون احتمال النجاح ثابت في كل محاولة.

اقرأ من هنا عن: علاقة الرياضيات بالعلوم الأخرى؟

نظرية ذات الحدين في الاحتمالات

• تعطى كل محاولة نتيجة واحدة فقط إما نجاح أو فشل بحيث يكون الناتج ثابت.
• احتمال النجاح (p) + احتمال الفشل (q) = 1، أي أن q=1-p.
• تكون المحاولات عددها n مستقلة فيما بينها، بحيث تكون X عدد المحاولات الناجحة من مرات عددها n.
• حيث أن X هو متغير ذات الحدين وتوزيعه الاحتمالي هو توزيع ذات الحدين.

قانون ذات الحدين

• نفترض P(x)=P(X=x) حيث أن x عدد المحاولات الناجحة.
• أن يكون عدد المحاولات الفاشلة (n-x).
• ويكون احتمال الحدث هو  بحيث تكون الأحداث مستقلة حيث أن الاحتمال يساوى حاصل ضرب احتمالات النجاحات كالآتى P(aՈb)=P(a)×P(b).
• ويكون عدد طرق اختيار X نجاح من n محاولة هو أى توافيق n مأخوذة x مرة.
• يسمى التوزيع الاحتمالي X بذي الحدين عندما تكون دالة احتماله على الشكل
  1.   = P(x)
• فإذا ألقى حجر نرد 180 مرة فإن الوسط لعدد مرات الحصول على رقم 6 هو180× ( 30=( ، ويكون التباين هو 180×( )×( )= 25، ويكون الانحراف المعياري هو

مثال1

• في اختبار مكون من 10 أسئلة وكل سؤال مكون من 4 إجابات بحيث أن إحداها فقط صحيحة والثلاث الأخرى خاطئة.
• إذا قررنا الاختيار العشوائي للإجابة الصحيحة من بين الإجابات الأربع لعدم معرفتنا الإجابة الصحيحة.
• فتكون كل إجابة تمثل محاولة نجاح (25)، أو خطأ (0.75).
• وعدد المحاولات n هو 10، وحيث أن المحاولات مستقلة فهي تحقق توزيع ذات الحدين.

مثال 2

• كيس يحتوي على 3 كرات خضراء، 6 كرات حمراء سحبت 5 كرات ومع الإرجاع فما هو احتمال أن يكون من بين الكرات المسحوبة 3 كرات حمراء
• فيكون الحل
• ن=5، ر= 3، أ= = حيث ن تمثل عدد مرات إجراء التجربة، أ تمثل احتمال النجاح في المحاولة الواحدة.
• فإن ل ( س = 3 ) = [ ] × ) )

مثال 3

• يحتوي كيس على 3 كرات حمراء، و7 كرات بيضاء، فإذا سحبت منه 5 كرات على التوالي مع الإرجاع، فما احتمال أن تحصل على 4 كرات بيضاء.
• الحل
• ن = 5، ر = 4
• ل (ب) = 0.7، ل( ح ) = 0.3
• ل( 4 ) = [ ] )  (  )

مثال 4

• أطلق صياد 10 طلقات على هدف وكان احتمال إصابة الهدف في كل مرة (0.9)، أوجد احتمال أن يصيب الهدف في مرة واحدة على الأقل.
• الحل
• ن = 10, س = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1o.
• أ = 0.9
• ل ( مرة واحدة على الأقل ) = 1 – ل ( 0 ) =1 – ( ) (  ) (  ) = 1- (  )

ولا يفوتك قراءة مقالنا عن: الفرق بين النظرية والفرضية والحقيقة

توزيع بواسون نسبة للعالم الرياضي الفرنسي Simon D.Poisson

يعد من التوزيعات المتقطعة المهمة جدا في كثير من التطبيقات الإحصائية ويسمى توزيع الحوادث النادرة الحصول، ومثال له عدد الوحدات المعيبة في إنتاج كبير لمصنع معين وعدد النداءات الهاتفية المستلمة من قبل بدالة هاتف في فترة زمنية محددة.

نموذج انحدار ذي الحدين السالب

• حيث أنه من نظرية ذات الحدين في الاحتمالات.
• فهو يعد أحد النماذج العددية والتي تستعمل لتمثيل بعض الظواهر والحالات الطبية، والهندسية، والمالية، والجيوفيزيائية والطبيعية كالأمطار والأعاصير والزلازل، حيث لا يمكن التعبير عنها بالنماذج الاعتيادية التي تعتمد على التوزيع المنفرد.
• فتحتاج هذه الظواهر إلى دمج توزيعين مثل (بواسون وكاما) وذلك للحصول على توزيع أكثر مرونة في حالة الظواهر المعقدة والمجتمعات غير المتجانسة.
• كما يعتبر ثنائي الحدين السالب كأحد عوامل نظرية ذات الحدين في الاحتمالات، فهو هام جدا للدراسات الحياتية والبيولوجية، والبيئية، والعلوم الزراعية، والهندسية، وكذلك علوم البكتيريا، حيث أنه أساس لنموذج إحصائي للبيانات العددية (count data).
• حيث أن الوسط الحسابي والتباين لتوزيع بواسون متساوي، فعندما تزداد قيمة المتوسط تزداد أيضا قيمة التباين، ويطلق على هذه الخاصية متعادلة التشتت وذلك في حالة البيانات تمتلك توزيع بواسون.
• وفى حالة ما يكون التباين أكبر من المتوسط للبيانات حيث تمتلك خاصية فرط التشتت، نلجأ إلى استخدام نموذج ثنائي الحدين السالب، والذي يعرف بنموذج بواسون- كاما المختلط، حيث أنه الأكثر ملائمة في حالة خاصية فرط التشتت.
• على الرغم من أن نموذج ذات الحدين السالب كمثال من نظرية ذات الحدين في الاحتمالات والذي يأتي من نموذج (بواسون – كاما) المركب بصورة تقليدية.
• إلا أنه من الممكن أن يأتي نموذج ثنائي الحدين السالب جزء من توزيعات العائلة الأسية ذات المعلمة المفردة والتي تختص بالنماذج الخطية العامة.
• يتحقق ثنائي الحدين السالب عندما يكون التباين أكبر من المتوسط للبيانات.
• وله أربعة طرق مختلفة هي طريقة الأمكان الأعظم، وطريقة المربعات الصغرى المعادة الوزن التكرارية، وطريقة الأمكان الموزونة، وكذلك طريقة المربعات الصغرى الموزونة.
• تختلف معلمات طرائق ثنائي الحدين السالب بحيث تهدف إلى الوصول لأفضل طريقة.
• فعندما سحبت عينة عشوائية بسيطة حجمها 257 حالة من حديثي الولادة الذين يعانون من تشوهات خلقية مسجلين في دائرة صحة منطقة بابل.
• وتم استعمال برامج إحصائية لمعرفة معلمات نموذج ثنائي الحدين السالب لتحديد أفضل طريقة.
• وقد أظهرت النتائج أن طريقة المربعات الصغرى المعادة الوزن التكرارية هي أفضل طريقة، حيث أنها امتلكت أقل متوسط مربعات للخطأ MSE وأعلى معامل تحديد .
• وفى عام 1974 قام العالم (Bulmer) بدراسة على مجموعتين من البيانات الحقيقية، حيث تضم المجموعة الأولى عدد الحيوانات حرشفية الأجنحة حيث تم صيدها عن طريق استخدام فخ الضوء، وتضم المجموعة الأخرى عدد الفراشات نوع ميلانو المجمعة.
• عند مقارنة بيانات المجموعتين من حيث مدى ملاءمتها للتوزيعات (ثنائي الحدين السالب وتوزيع بواسون وتوزيع بواسون اللوغاريتمي الطبيعي المختلط) فظهر أن البيانات تلائم أكثر توزيع ثنائي الحدين السالب عن بقية التوزيعات، وقد تم فيه تقدير معلمات التوزيع بطريقة الأمكان الأعظم.
• كما أنه في عام 1987 استعمل العالم (Nelder) نموذج ثنائي الحدين السالب لتحليل مصائد الحشرات في عمل تصميم القطاعات المتداخل، كما يقوم بدراسة الخصائص الإحصائية لدالة شبه الأمكان الموسعة بناء على هذا التصميم.
• كما استخدم في عام 2005 (Hilbe) تحليل ثنائي الحدين السالب التتابعي حيث استعملت لآلية إدارة الآفات الحشرية والحد من خطورتها.

اقرأ من هنا: موضوع تعبير عن نظرية فيثاغورس

 بذلك فإن تسمية ثنائي الحدين يكون بسبب حدوث حالتين في أن واحد جيد أو غير جيد، مطابق أو غير مطابق، معيب أو غير معيب، كما تعتبر دالة توزيع ثنائي الحدين الحد العام لمفكوك ثنائي الحدين، لذا تستخدم في حل كثير من المسائل وذات أهمية كبيرة ليست في الرياضيات فقط.