قانون حساب الوتر في مثلث قائم الزاوية
قانون حساب الوتر في مثلث قائم الزاوية، يمكن التعرف عليه من خلال نظرية فيثاغورس التي وضحت العلاقة ما بين أضلاع المثلث وأوتاره، فبمجرد حساب طول الضلعين للزاوية القائمة يسهل حساب الوتر من خلال معادلة بسيطة، وسنتعرف من خلال مقالنا الآن عن القانون بكل مفصل أكثر مع الشرح الكامل لنظرية فيثاغورس.
محتويات المقال
المثلث القائم الزاوية
- المثلث القائم الزاوية هو أحد أنواع المثلثات التي يوجد بها زاوية قائمة يبزغ قياسها 90°، ويعرف أطول ضلع في المثلث باسم الوتر، وهو الضلع الذي يوجد في الجهة المقابلة للزاوية القائمة، ويعرف ضلعي المثلث الآخرين باسم ساقي المثلث.
شاهد أيضًا: قانون محيط المثلث بالرموز
قانون حساب الوتر في مثلث قائم الزاوية
- تنص نظرية فيثاغورس على الآتي: “في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طول الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة.”
- مما سبق نستنتج أن مربع طول الوتر في المربع القائم الزاوية يساوي مربعي طولي الضلعين في الزاوية القائمة، ولتسهيل حساب المعادلة يمكن تسمية الأضلاع بالحروف أ، ب، ج.
مثال توضيحي
- في مثلث أ، ب، ج قائم الزاوية في ج
يتضح لنا من ذلك أن الوتر في المثلث هو أب، ولذلك يمكن أن نسمي كل ضلع في المثلث بحرف كالآتي:
- أب=ج، أج=ب، ب ج=أ.
- أي أن ب ج٢+أج٢= أب٢، أو يمكن القول أيضًا كالآتي: أ٢+ب٢=ج٢.
- تفيد نظرية فيثاغورث في التعرف على طول أحد الأضلاع الموجودة في المثلث القائم الزاوية عند معرفة طولي ضلعي المثلث الآخرين.
- على سبيل المثال: إذا كان أ=4، ب=3.
- فمن ذلك نستنتج أن أ٢+ب٢=3٢+4٢=25=ج٢.
- ومما سبق نستنتج أن ج=5.
مثال توضيحي آخر
- في مثلث قائم الزاوية يبلغ طول القاعدة فيه 4 سم، ويبلغ طول الارتفاع فيه 3 سم فما هو طول الوتر في المثلث؟
الحل:
- مربع الوتر= مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني.
- مربع الوتر= 16+9= 25 سم.
- بعد الحصول على الجذر التربيعي نستنتج أن مربع الوتر= 5 سم.
مثال توضيحي آخر
- إذا كان هناك مثلث يبلغ طول الضلع الأول فيه 5 سم، ويبلغ طول الضلع الثاني 3 سم، ويبلغ طول الوتر فيه 7 سم، المطلوب إثبات أن المثلث قائم الزاوية.
الحل:
سنتبع نظرية فيثاغورس في الحل كالآتي:
- مربع الوتر= مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني.
- ومربع الوتر = 49
- مربع الضلع الأول = 25
- مربع الضلع الثاني = 9
- بالتعويض نحصل على المعادلة الآتية: 49= 25+ 9، إذًا 49 = 34.
- بعد التعويض في القانون اتضح لنا أن مربع طولي الضلعين للمثلث لا يساوي مربع الوتر، ومن ذلك نستنتج أن المثلث غير قائم الزاوية.
النظرية العكسية لنظرية فيثاغورس
تنص النظرية العكسية لنظرية فيثاغورس على الآتي:
- ( في مثلث، إذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية، والزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع، والضلع الأطول هو الوتر).
معرفة طريقة قانون جيب تمام الزاوية في حساب طول الوتر في المثلث
- مصطلح جيب تمام الزاوية أو الظل تشير إلى نسب مختلفة بين الزوايا الموجودة في المثلث قائم الزاوية أو بين أضلاعه، ويمكن تعريف جيب الزاوية في المثلث قائم الزاوية بأنه طول الضلع الموجود في مقابل الزاوية بعد قسمته على وتر المثلث.
- يوجد بالحاسبة زر مخصص لاستخدام الجيب، وهو الزر الذي يحمل علامة sin، ويمكن استخدامه من خلال الضغط عليه ثم القيام بإدخال قياس الزاوية المرغوب في إيجاد جيبها بالدرجات.
- من الضروري التعرف على قانون الجيب لتسهيل حساب الوتر في المثلث قائم الزاوية، حيث ينص القانون على الآتي:( في أي مثلث الأضلاع فيه أ، ب، وزواياه هي أ، ب، ج، فإن أ/ جا أ = ب/ جا ب= ج/ جا ج).
- يجب أن يتم استخدام الحروف أ، ب، ج في تسمية أضلاع المثلث، ومن الضروري أن يتم إطلاق حرف ج على أطول الأضلاع في المثلث وهو الوتر، وإطلاق حرف أ على الضلع الذي نعلم طوله، والضلع الآخر نطلق عليه حرف ب، وذلك بهدف تبسيط عملية الحساب.
- كما يجب كذلك إطلاق الحروف أيضًا على الزوايا في المثلث على أن يتم إطلاق حرف ج على الزاوية المقابلة للوتر وهي الزاوية القائمة، وأن يطلق حرف أ على الزاوية التي تقابل الضلع أ، ويطلق حرف ب على الزاوية التي تقابل الضلع ب.
حساب الوتر في مثلث قائم الزاوية عن طريق النسب المثلثية
تفيد النسب المثلثية في حساب الأضلاع الموجودة في المثلث القائم الزاوية عند معرفة قياس أي زاوية بالمثلث غير القائمة، ومعرفة طول أحد أضلاع المثلث، وفيما يلي توضيح لطريقة استخدامها:
- جا= الضلع المقابل للزاوية/ الوتر.
- جتا= الضلع المجاور للزاوية/ الوتر.
- ظا= الضلع المقابل للزاوية/ الضلع المجاور للزاوية.
شاهد أيضًا: مساحة المثلث متساوي الأضلاع والقائم
مثال توضيحي عن طريقة الاستخدام
- إذا كان أ ب ج مثلث قائم الزاوية في ب، ويبلغ طول الضلع ب ج 7سم، ودرجة الزاوية ج=53°، أوجد قياس الوتر أج، والضلع أب.
الحل:
- يمكن حساب طول الضلع أب من خلال استخدام ظل الزاوية، والضلع أب هو المقابل للزاوية ج.
- ومن ذلك نستنتج أن: ظا ج= أب/ب ج = ظا 53= أب/7.
- أب= 7×1.33= 9.29 سم.
وبالتالي يمكن التعرف على حساب الوتر بطريقة جيب تمام الزاوية، أو بطريقة نظرية فيثاغورس، وسنحسب طوله الآن بطريقة جيب تمام الزاوية كالآتي:
- جتاج=الضلع المجاور للزاوية ج/ الوتر.
- جتا 53= ب ج.
- الوتر= 7/ الوتر.
- الوتر= 0.6/7= 11.7سم.
مثال توضيحي آخر
- في مثلث قائم الزاوية يبلغ قياس إحدى زواياه 67°، والضلع المقابل للزاوية يبلغ طوله 24 سم، فأوجد حساب طول الوتر.
الحل:
يمكن هنا اتباع طريقة جيب تمام الزاوية لحساب طول الوتر كالآتي:
- جا= الضلع المقابل للزاوية/ الوتر.
- جا 67= 24/ الوتر.
- الوتر= 26.1 سم.
مثال توضيحي آخر
- إذا كان مثلث قائم الزاوية يبلغ قياس إحدى زواياه 5°، ويبلغ طول الوتر فيه 6 سم، فكم يبلغ طول الضلع المقابل للزاوية التي يبلغ قياسها 50°؟
الحل:
بما أن لدينا طول الوتر، والمطلوب هنا فقط حساب طول الضلع المقابل للزاوية، فلذلك يمكن استخدام طريقة جيب تمام الزاوية، وذلك بالخطوات الآتية:
- جا= الضلع المقابل للزاوية /الوتر.
- جا 50= الضلع المقابل للزاوية/ 6.
- الضلع المقابل للزاوية 50 = 4.6 سم.
مثال توضيحي آخر
- إذا كان هناك مثلث قائم الزاوية يبلغ طول الوتر فيه 10 سم، ويبلغ طول أحد الضلعين 8 سم، فكم يبلغ طول الضلع الأخر؟
الحل:
في هذه المعادلة سنتبع نظرية فيثاغورث في حساب طول ضلع المثلث بالخطوات الآتية:
- بالتعويض في القانون أ٢+ ب٢ = ج٢، نستنتج أن 8٢ + ب٢ = 10٢.
- إذًا ب٢= 36، وبالحصول على الجذر التربيعي نستنتج أن ب= 6 سم.
مثال توضيحي آخر
- إذا كان هناك مثلث قائم الزاوية يبلغ طول أحد ضلعيه 9 سم، ويبلغ طول الوتر فيه 15 سم، فكم يبلغ طول الضلع الأخر للمثلث؟
الحل:
- بتطبيق نظرية فيثاغورث التي تنص على أن مربع طول الوتر = مربعي طول ضلعي المثلث.
وبالتعويض في القانون نستنتج الآتي:
- 15٢ = 9٢ + طول الضلع الثاني٢.
- نقوم بطرح 81 من الطرفين، ينتج لنا أن طول الضلع الثاني٢ = 144.
- بعد أخذ الجذر التربيعي نتوصل إلى أن طول الضلع الثاني = 12 سم.
شاهد أيضًا: موضوع تعبير عن محيط المثلث
وبهذا ينتهي مقالنا عن قانون حساب الوتر في المثلث القائم الزاوية والذي تعرفنا من خلاله عن أهم الطرق التي يمكن من خلالها حساب الوتر، ونتمنى أن ينال المقال إعجابكم.