ما هي الاعداد النسبية في الرياضيات؟
ما هي الاعداد النسبية في الرياضيات؟، عندما ولدت الأرقام والأعداء ولد معها علم الرياضيات، فسعي العلماء في البحث فيه، ليساعدهم في الهندسة والفلك وغيرها من العلوم، فكانت من أولي الأعداد التي اكتشفها العلماء هي الأعداد النسبية فما هي الأعداد النسبية في الرياضيات.
محتويات المقال
الأعداد
- تعتبر الأعداد والأرقام هي لغة الرياضيات، إذ تستخدم لتعبر عن الكميات، وهي أساس لعلم الرياضيات تجري عليها العمليات الحسابية بشكل يومي مثل حساب الأيام أو الشهور أو السنوات.
- توجد اختلافات في شكل الأرقام ونطقها وطريقة كتابتها في كل ثقافة ولغة مثلما هي كل لغة مختلفة عن باقي اللغات حسب الثقافة، فتوجد أرقام عربية وأرقام هندية.
- جدير بالذكر الفرق بين الأعداد وبين الأرقام وهو أن الأرقام هي الرمز الرياضي، إنما الأعداد هي اسم أو صفة تصف كمية الأشياء أو ترتيبها.
- ساهم دور العلماء في اكتشاف الأرقام وتطورها بشكل كبير وأبرزهم العالم المسلم الخوارزمي، حيث اكتشف الصفر الذي به استطاع الإنسان العد إلى ما لا نهاية.
- قد قسم العلماء الأرقام إلى مجموعات حسب خصائصها فمنها مجموعة الأعداد النسبية ومجموعة الأعداد غير النسبية ومجموعة الأعداد الصحيحة والطبيعية والحقيقية.
ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات؟
- يمكننا تعريف الأعداد النسبية بأنها الأعداد التي يمكننا أن نكتبها على صورة كسربة أ/ب، أي يمكن كتابتها على صورة بسط ومقام بشرط ألا يساوي المقام الصفر لأنه إذا ساوي الصفر ستكون قيمة الكسر غير معرفة.
- يأتي لفظ النسبية مشتقا من النسبة والتي تعني مقارنة رقمين موجودين في البسط والمقام، فيكون رقم صحيح مقسوما على رقم صحيح.
- وهكذا يسهل علينا التعرف على مجموعة الأعداد الصحيحة عن مجموعات الأعداد الأخرى المختلفة، حتى وإن كان هنالك احتمال حدوث اختلاط بين مجموعات الأعداد المختلفة.
- فمثل العدد +٧ هو عدد ينتمي لمجموعة الأعداد الطبيعية حيث أنه عدد صحيح وموجب، إلا أنه أيضا ينتمي إلى مجموعة الأعداد النسبية إذ إنه يساوي +٧/١ أي أن مقامه يساوي ١.
- علي هذا فإن الأعداد النسبية هي جميع الأعداد الموجبة والسالبة، بالأصالة إلى الصفر، ويمكن كتابتهم جميعا على هيئة كسر.
- عندما نقوم بكتابة العدد النسبي فإننا نضع إشارة السالب أمام الكسر أو بجانب الرقم الموجود في البسط، فمثلا العدد ٤/٣ تكون صورته السالبة أو معكوسه الجمعي له هو ٤/٣- ويكون ٤-/٣ صورة خاطئة.
- حيث إن هذه هي الصورة القياسية لكتابة الكسر السالب، ويمكننا أن نكتب الأعداد العشرية على صورة بسط ومقام لأي عدد على صورة أعداد نسبية.
- مثلا العدد٠.٦٥ يمكننا أن مكتبه على الصورة النسبية فيكون ١٠٠/٦٥ ذلك بمضاعفات المقام للعدد ١٠ علي حسب عدد الأرقام الموجودة بعد الفاصلة العشرية.
- ويمكن كذلك كتابة الأرقام العشرية الدورية على صورة أعداد نسبية فمثلا العدد ٠.٤٤٤٤٤ يمكننا كتابته على الشكل ٤/١، فيكون من السهل المعاملة مع الأرقام.
أمثلة على الأعداد النسبية
جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد نسبية حيث أنها تتكون من بسط يساوي العدد ومقام يساوي دائما واحد فلا يتم كتابته، وسنوضح ذلك في هذه الأمثلة
- الرقم ٢ هو عدد نسبي حيث يمكن كتابته على الصورة ٥/١ ولا تتغير قيمته.
- الرقم -١٥ هو عدد نسبي إذ يمكن كتابته على صورة بسط ومقام وهي -١٢/١ ولكن لا يمكن كتابته -١٢/٠ حيث أن العدد النسبي لا يقبل أن يكون المقام صفر.
الكسور والأعداد الكسرية
- كل الكسور الممكن كتابتها على صورة بسط ومقام أ/ب إذا كان أ وب كلاهما أعداد صحيحة وقيمة ب المقام لا تساوي الصفر تعتبر أعداد نسبية.
- وتعتبر كذلك الأعداد الكسرية المطابقة للشروط إذ أن البسط والمقام أعداد صحيحة والمقام لا يساوي صفر هي أيضا أعداد نسبية.
بعض الأمثلة على الكسور والأعداد النسبية
- العدد الكسري ٦/٣٣- هو عدد نسبي، لأن العددين -٣٣ و٦ هما عددين صحيحين والمقام يساوي ٣٣ لا يساوي صفر.
- العدد الكسري ٢٤/٨ يعد عددا نسبيا لأن كل من بسطه ومقامه أعداد صحيحة ومقامه لا يساوي الصفر.
- لكن يجب أن ننتبه إلى أن بعض الكسور والأعداد الكسرية لا تكون أعدادا نسبية، فمثلا العدد ١٢٢ وصفر رغم أن كل منهما عدد صحيح ولكن ١٢٢/٠ ليس عدد نسبي حيث أن المقام يساوي صفر فتكون قيمة العدد غير معرفة.
- والكسر 3/π لا يعد عدد نسبي على الرغم من أن المقام عدد صحيح ولكن لا يمكن اعتبار π عدد نسبي.
الكسور العشرية
إذا كانت الكسور دورية أو منتهية فيمكن اعتبارها أعداد نسبية حيث يمكن كتابتها على صورة بسط ومقام أ/ب كما في الأمثلة التالية
- العدد ١.٩ يمكن التعبير عنه على الصورة ١.٩/١ فيكون عددا نسبيا، وما إذا قمنا بضرب البسط والمقام في الرقم ١٠ ينتج لدينا العدد ١٨/١٠ وهو عدد نسبي كذلك، إذ أن العدد ١٩ والعدد ١٠ هما عددين صحيحين والعدد ١٠ في المقام لا يساوي صفر.
- الكسر العشري الدوري … ٢.٢٢٢ يمكننا أن مكتبه على صورة عدد كسري يساوي ١/٢ وهو عدد نسبي، ويمكن ضرب المقام والبسط في العدد ٢٠ فيساوى ١٠/٢٠ وهو عدد نسبي إذ أن البسط والمقام عددان صحيحان والمقام يساوي ٢٠ لا يساوي صفر.
أمثلة على الأعداد غير النسبية
تعتبر هذه الأمثلة من أشهر الأعداد غير النسبية وهي
- العدد النيبيري ه حيث أن العدد النيبيري كسرا عشريا لكنه غير منته وهذه الأرقام تمثل المنازل الأولي العشرية منه وهي 2.718281828459045235360287471352
- العدد π حيث أنه عبارة عن كسر عشري لكنه غير منته وهذه أرقام أول منازل عشرية فيه 3.1415926535897932384626433832795.
- بعض الجذور التربيعية والتكعيبية حيث بعض الكسور الناتجة من الجذور تكون كسور عشرية غير منتهية فمثال لذلك الجذر التربيعي للعدد ٣ وهو يساوي ….1.7320508075688772935274463415059.
- أو الجذر التربيعي للعدد 99 وهو يُساوي ….9.9498743710661995473447982100121.
- إلا أنه ليست جميع الجذور التربيعية والتكعيبية تكون أعداد غير نسبية، ويمكن التوضيح في مثال الجذر التربيعي للرقم ١٦ والذي يساوي ٤ وهو عدد نسبي.
- أو عند ضرب جذرين لعددين غير نسبيين كضرب جذر ٣ في جذب ٣ فتكون النتيجة ٣ وهو عدد نسبي.
العمليات الحسابية على الأعداد النسبية
العدد النسبي هو عدد كأي عدد يمكن إجراء العمليات الحسابية كالضرب والقسمة والجمع والطرح عليه، فما إذا تعلمنا المهارات الأساسية للتعامل معه كان تمكننا من إجرائها عليه بسهولة جدا، فيمكننا إجراء العمليات الحسابية عليه كما يأتي
- الجمع: يمكن جمع الأعداد الكبيرة مع بعضها ولكن بشرط واحد وهو أن تكون المقامات متساوية فيتم جمع البسط مع البسط مع تثبيت قيمة المقام، أي أننا نجمع البسط مع البسط ويخرج في الناتج على نفس المقام.
- الطرح: يمكننا إجراء عملية الطرح بنفس طريقة الجمع إذ لا يمكن طرح العددين المطروحين من بعضهما إلا إذا تساوى مقامهما فنطرح البسطين من بعضهما ويخرجا على نفس المقام.
- الضرب: نقوم بإجراء عملية الضرب عن طريق ضرب البسط في البسط وضرب المقام في المقام ووضع ناتج ضرب البسط في بسط الناتج وناتج ضرب المقامات في بسط المقام.
- القسمة: في عملية القسمة علينا تثبيت الكسر الأول كما هو ونقوم بقلب الكسر الثاني بحيث يصبح المقام بسط والبسط مقام ونحول إشارة القسمة إلى ضرب ونقوم بعملية ضرب عادية فنضرب البسط في البسط والمقام في المقام.
خصائص الأعداد النسبية
تتلخص خصائص الأعداد النسبية في التالي:
- عندما نقوم بضرب عدد صحيح لا يساوي صفر في العدد النسبي فإن قيمة العدد النسبي تظل كما هي ولا تتغير قيمتها إذ أن هذا الضرب ليس سوي مضاعفا لأرقام البسط والمقام بنفس النسبة، فمثلا إذا قمنا بضرب ٢/٤ في ٢ يكون الناتج ٤/٨ وإذا قمنا بتبسيط إلى أقرب صورة أعطانا الناتج ٢/٤.
- إذا قمنا بقسمة العدد النسبي على عدد صحيح بشكل ومقاما على شرط ألا يساوي صفر فإن قيمة العدد النسبي لا تتغير ولا تؤثر هذه القسمة على الناتج، مثال علي ذلك قسمة ٦ عند ض/٣٠ على ٣ فيكون الناتج ٣/١٦ وهو عدد نسبي إنما تم تبسيط صورته.
- إذا قمنا بطرح أو جمع عددين نسبيين فيجب أن يكون الناتج هو عدد نسبي ولا يمكن أن يكون غير ذلك.
- إذا ضربنا أو جمعنا أي عددين نسبيين لهما نفس المقام فالناتج يجب أن يكون نفس المقام والبسط عبارة عن جمعهما أو طرحهما.
- إذا قمنا بضرب عددين نسبيين في الناتج يكون ضرب الوسطين على ضرب المقامين.
- إذا ربعنا الجذر التربيعي في الناتج سيكون دائما عددا نسبيا، ويكون العدد الموجب الذي بداخل الجذر.
- قد يكون حاصل ضرب عددين غير نسبيين مثل جذرين ببعض عدد نسبي مثل ضرب جذر ٣ بجذر ٤ فيكون الناتج ١٢ وهو عدد نسبي.
- يطلق على العدد النسبي الصورة القياسية للعدد النسبي إذا كان لا يمكن اختصاره أكثر من ذلك أي أن العامل الوحيد المشارك بين البسط والمقام هو الواحد الصحيح.
- عملية الجمع أو الطرح الاعداد الغير نسبية لا يمكن أن ينتج عنها أعداد نسبية إلا إذا كان العددان النسبيين متساويين ولكن بإشارة مختلفة فينتج عنهم عدد نسبي وهو الصفر، وتسمى العلاقة بين هذين العديدين بعلاقة المعكوس الجمعي.
الفرق بين الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية
- العدد النسبي: يسمي أي عدد يمكن كتابته على صورة كسر بسط ومقام و الرقمان اللذان في البسط والمقام صحيحان والمقام لا يساوي صفر سواء أكان العدد سالب أو موجب بالعدد النسبي، مثل ٣/٤.
- العدد الغير نسبي: يسمي العدد الذي لا يمكننا كتابته على صورة كسر عادي بسط ومقام للعدد الغير نسبي مثل الجذر التربيعي العدد ٥ إذ إنه كسر عشري غير منتهي عند رقم محدد بل يستمر إلى ما لانهاية.
في نهاية رحلتنا مع ما هي الاعداد النسبية في الرياضيات؟، قسم علماء الرياضيات الأعداد وفقا لخصائصها، فنتج عن ذلك مجموعات مختلفة منها مجموعة الأعداد النسبية وقد أوضحنا في هذا المقال ماهي الأعداد النسبية في الرياضيات، وما الفرق بينها وبين الأعداد الغير نسبية وخصائصها.