بحث عن الدوال الاسية
بحث عن الدوال الاسية، علم الجبر هو علم يعتبر أحد فروع علم الرياضيات وجاء هذا اسم الجبر من خلال كتاب عالم الرياضيات العظيم الكاتب محمد بن موسى الخوارزمي، وهو كتاب اسمه الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة.
وهو كتاب اوجد فيه الخوارزمي كيفية إيجاد حلول المعادلات التربيعية والمعادلات الخطية، يمثل علم الجبر أحد فروع علم الرياضيات الأساسية الثلاثة وهم علم الهندسة الرياضية.
وعلم التحليل الرياضي وثالثهم هو علم الجبر، بدأ كون علم الجبر أحد مجالات علم الرياضيات في أواخر القرن السادس عشر ميلادياً.
محتويات المقال
نشأة علم الجبر
- نجد أن جذور علم الجبر تعود إلى القدماء البابليين حيث هم أول من أسسوا نظاماً حسابياً يتم من خلاله حساب العمليات الرياضية.
- فأسس ونظام لحل العمليات الحسابية يتم الآن حلها بواسطة المعادلات التربيعية والمعادلات التكعيبية والمعادلات الخطية والمعادلات الغير خطية.
- وفي هذا الوقت كانت الشعب المصري، والشعب الصيني والشعب الياباني يقومون بحل المسائل الحسابية بالطريقة الهندسية ولم يتوصلوا إلى الطريقة الجبرية بعد.
- وتم الاستدلال على ذلك من خلال بردية ريند الرياضية وأصول العالم إقليدس، نجد أكثر ما يميز ويُعرف به علم الجبر هو الحد الكبير من التشابه بين العمليات الحسابية الخاصة به.
- والعمليات الحسابية البسيطة إلا أن الفرق بينهم أن علم الجبر يحتوي على رموز مجهولة مثل الآتي أس^٢+ب س +٢=٠
علم الجبر متنوع وله فروع كثيرة جداً فلم يقتصر على الأعداد فقط بل يشمل المتجهات والمصفوفات، تتنوع أنواع علم الجبر كما يلي:
- الجبر الابتدائي: هو فرع من فروع علم الجبر وهو الجبر الذي يتم تدريسه للطلاب في المرحلة الابتدائية.
- والجبر المجرد: هو فرع من فروع علم الجبر ويشتمل على بنية الهياكل الجبرية مثل الرموز.
- الجبر الخطي: وهو فرع من فروع علم الجبر يتم فيه دراسة خواص محددة مثل المعادلات الخطية، وفضاء المصفوفات، وفضاء المتجهات.
- والجبر التبادلي: وهو فرع من فروع علم الجبر يختص بدراسة الحلقات التبادلية.
- جبر الكمبيوتر: هو فرع من فروع علم الحبر يختص بتنفيذ أساليب جبرية مثل الخوارزميات، وبرامج الكمبيوتر.
- الجبر الشامل: هو فرع من فروع علم الجبر، والتي يتم فيه دراسة الخصائص التي تجمع بين الهياكل الجبرية المختلفة.
- والجبر التماثلي: هو فرع من فروع علم الجبر يختص بدراسة الهياكل الجبرية وهي تعتبر شيئاً مهماً في دراسة الفضاء الطوبولوجي.
شاهد أيضًا: موضوع عن الهندسة الفراغية في الرياضيات
مبادئ علم الجبر في الرياضيات
من خصائص علم الجبر التي يُعرف بها هي خاصية تعميم الحساب، لذلك فإن علم الجبر يتكون من مجموعة من القواعد والمبادئ.
أحد قواعدها هو تحويل الكلمة إلى رمز رياضي، ومن هذه القواعد أيضاً قاعدة إعادة صياغة البيانات الرياضية إلى رموز.
وقاعدة كتابة البيانات الرياضية بطريقة مختلفة لكن دون تغير في المعنى الخاص بها، وإليك بعض مبادئ علم الجبر:
- أولاً قاعدة الجبر الأولي: يمكن تعريف الجبر الأولى على أنه الدراسة المبكرة لعلم الجبر وقد يكون دراسة مبكرة لعلم الرياضيات بشكل عام.
- ويشمل دراسة أهم مبادئ علم الجبر وهم العمليات الحسابية الأربعة، والمجموعات العددية، والنسب، والمعادلات البدائية البسيطة، والإشارات.
- الجبر الخطي: يعتر الجبر الخطي هو امتداد لعلم الجبر الأولى، وذلك لأن فيه يتم التوسع والتعمق في الأبحاث العلمية ومختلف النظريات.
- وإيجاد طرق لحل المعادلات المعقدة جداً، ويختص أيضاً بأساليب حل القضايا والفرضيات والبراهين الرياضية.
- مصفوفة الجبر: تعتبر مصفوفة الجبر واحدة من أكثر الأبحاث العلمية انتشاراً في جميع أرجاء العالم، ويرجع ذلك إلى أنها من النماذج الرياضية المعقدة جداً، وأكثر المبادئ المستخدمة في علم الجبر.
- الجبر المجرد: يمثل الجبر المجرد جزء من مبادئ علم الجبر، يوفر الجبر المجرد عدداً من البراهين البديهية التي يمكن تطبيقها على علم الجبر كله.
- ويتم في هذا المبدأ عن غيره من المبادئ تخصيص مجموعات الأعداد الصحيحة.
- ومجموعات الأعداد الطبيعية، والنسبة بين المجموعتين والعلاقة بين المجموعتين أيضاً.
مؤسس علم الجبر
- أسس علم الجبر الرحالة وعالم الفلك محمد بن موسي الخوارزمي، وكنيته أبا جعفر، وشهرته الخوارزمي، ولد الخوارزمي في مدينة بغداد في دولة العراق في سنة ١٦٥ هجرياً.
- ولكنه انتقل إلى مدينة خوارزم في بلاد فارس مع أسرته ثم عاد إلي بغداد مرة ثانية في عهد الخليفة المأمون في عصر الدولة العباسية.
- يعتبر الخوارزمي واحداً من أوائل العلماء المسلمين الذين ساهموا وقدموا الكثير من الأعمال في تاريخ علم الرياضيات.
- عاصر الخليفة المأمون كما ذكرنا وكان على علاقة قوية وطيبة معه وكسب ثقة الخليفة فأعطاه ولاية بيت الحكمة، في أثناء ولايته لبيت الحكمة رسم خريطة للعالم.
- وذلك بمساعدة سبعين جغرافي، وقام بترجمة الكتب المكتوبة باللغة اليونانية إلى اللغة العربية، وقرأ الكثير من الكتب.
- التي كانت تتواجد في مكتبة الخليفة المأمون فنتج عن ذلك زيادة عمله في علم الرياضيات، وعلم الفلك، وعالم التاريخ والجغرافيا.
- عرف عن الخوارزمي أنه من أعظم علماء عصره ومن أعظم العلماء علي مر العصور، قيل انه صاحب عبقرية فذة.
- شُهِد له بالتفوق والتميز حتى من علماء عصره وترك ميراثاً عظيماً من المؤلفات في علم الفلك وعلم الجغرافيا.
- ومن هذه المؤلفات، كتاب الجبر والمقابلة، وكتاب الجماهير في معرفة الجواهر، وكتاب صورة الأرض، وكتاب رسم الربع المعمور، وكتاب تقويم البلاد، وكتاب الجمع والتفريق في الحساب الهندي.
- كتب الخوارزمي أيضاً في علم الطب فكتب كتاباً يسمي علم الصيدلة، توفي العالم الخوارزمي في عام ٢٣٢ هجرياً في خوارزم في بلاد فارس.
- وبموته يكون قد فقد العالم كله عامة، والعالم الإسلامي خاصة علامة لن تتكرر صفاته من جهد، وتواضع، ومصابر في عالم.
الفرق بين علم الكالكولس وعلم الجبر
قد يخطأ البعض ويظن أنه لا يوجد فرق بين علم الكال كولس وعلم الجبر وأنها يعنيان نفس الشيء وإنما هي مترادفات ولكن ذلك اعتقاد خاطئ لأنها شقان يتكاملان ولكن يختلفان وإليكم الفرق بينهم من خلال التعريف:
- أولاً علم الكالكولس: وهو فرع علم الرياضيات الذي يختص بالجزء التطبيقي ويشمل فرع التفاضل وفرع التكامل.
- والذي فيهم يتم دراسة النهايات، ودراسة والاشتقاق، ودراسة التغير في الدوال الرياضية، ودراسة التكامل، ودراسة المتسلسلات اللانهائية.
- بينما يمكن تعريف الجبر على أنه: وهو فرع علم الرياضيات المجرد وجاء الاسم من كتاب عالم الرياضيات الخوارزمي كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة.
فائدة علم الجبر
يستخدم علم الجبر في حياتنا اليومية وإليك بعض الاستخدامات الهامة له:
- يستخدم علم الجبر في الدين الإسلامي في تعيين مواقيت الأذان التي تختلف من بلد إلى بلد.
- ويستخدم علم الجبر في الكثير من تعاملات الإنسان اليومية مثل حساب المواريث والربا.
- ويستخدم علم الجبر بشكل واضح ومنتشر في مجال التجارة.
- يستخدم علم الجبر في معرفة اتجاه القبلة للصلاة وتعين الهلال للتحقق من شهر رمضان سواء بدايته او نهايته.
- ويستخدم علم الجبر في حساب الكميات المختلفة.
- يساهم علم الجبر في كثير من المنشآت مثل المحلات التجارية، والجامعات والمدراس، والشركات والبنوك.
لماذا ندرس علم الجبر
- نجد أن مادة الرياضيات من أكثر المواد التي لا يحبها الطلاب ويشتكون من صعوبتها وذلك لأنها مادة تعتمد على القدرات العقلية فقط.
- وعلى النقيض الآخر نجد طلاب يحبون هذه المادة جداً ولكن الشريحة الأولي من الطلاب أكثر.
- تبدأ حياتنا مع مادة الرياضيات من عملية الجمع، ثم تتطور إلى عملية الطرح، ثم تطور إلى عملية الضرب، ثم إلى عملة القسمة.
- وكذلك إلى القسمة المطولة ومروراً بكثير من العمليات الحسابية إلى أن نصل إلى دراسة الرياضيات المتقدمة وهي المقصود بها علم الحبر.
- وكما نعرف ان علم الجبر مجال كبير وواسع ويشمل عمليات رياضية متعددة، ورموز رياضية، وقواعد، وأسس، لحل تلك المعادلات الرمزية.
- ونجد أن أبسط أشكال علم الجبر هو المعادلة الرياضية التي يتطلب فيها البحث عن مجهول س، ص، ع، ل، وغيرهم من رموز المجاهيل.
- يساعدنا علم الجبر على تقدم وتطور قدراتنا العقلية، يساعدنا على فهم علوم أخرى مثل علم الفيزياء.
- وعلم الفلك، والهندسة، ويساعدنا على التفكير النقدي، وزيادة قدرتنا على حل المشاكل.
شاهد أيضًا: موضوع عن اقليدس عالم الرياضيات
الدوال الرياضية
- يتواجد في علم الرياضيات مجموعة مختلفة من الدوال الرياضية التي تختلف في الاستخدام وكذلك في طريقة الحل.
- تستخدم الدوال الرياضية في علوم مختلفة مثل علم الفيزياء، علم الكيمياء، علم الإحصاء، علم الجبر.
- علم الهندسة، علم البيولوجيا الرياضية، وتستخدم أيضاً في علم الاقتصاد.
- ومن هذه الدول والتي تعتبر من أهمهم هي الدالة الأسية، يُميز هذه الدالة عن باقي الدوال الرياضية هو وجود الأس.
- والأس في هذه الدالة يعتبر هو القوة وهو المتغير أيضاً، بينما في الدوال الرياضية الأخرى يكون المتغير هو الأساس وليس الأس.
- كما في الدالة الأسية، للاستفادة من هذه الدالة يجب معرفة إذا ما كان الأس أي القوة سالباً أم موجباً، في حالة كون الأس سالب.
- يلزم نقل الأساس من موضعه إلى الناحية الأخرى من الكسر، وللدالة الأسية نوعان دالة النمو الأسي ودالة التناقص الأسي.
أنواع الدوال الأسية
للدالة الأسية نوعان كما ذكرنا، النوع الأول هو دالة النمو الأسي، بينما النوع الآخر هو دالة التناقص الأسي ويمكن شرح النوعان باستفاضة فيما يلي:
- دالة النمو الأسي: هي دالة من خلالها يمكن استنتاج الأحداث، حيث تدل دالة النمو الأسي على الزيادة المستمرة.
- تبدأ هذه الزيادة بمعدل بطيء ثم ما تلبث أن تزداد على فترات وبقيم زيادة أكبر، وهذا ما يجعل اسمها دالة النمو الأسي.
- تستخدم هذه الدالة في حساب الزيادة السكانية او عائدات الشركات وغيره، تختلف استخدامات الدالة لكن تظل طريقة التعامل واحدة.
- حيث يُعبَّر عن معدل النمو الأسي من خلال علاقة تربط بين المتغير ورمزه Xومعدل النمو ورمزهr والأس رمزهt وهو يدل علي الزمن أيضاً.
- دالة التناقص الأسي: هي أحد أنواع الدوال الأسية، وهي تستخدم في الاستدلال على التناقص في القيمة، ويكون هذا التناقص بمعدل ثابت وذلك خلال فترات زمنية محددة.
- B) Y =a (1- والقوس أس X
- بحيث يشير الرمزY إلى الكمية النهائية.
- يشير الرمز a إلى الكمية القياسية.
- ويشير الرمز b إلى عامل التناقص.
- يشير الرمز x إلى الفترة الزمنية.
- وتستخدم دالة التناقص الأسي في مجالات مختلفة، منها حساب القيمة التي يمكن تكلفتها في حالة استخدام لمدة زمنية طويلة نسبياً.
الرسم البياني للدالة الأسية
لكي نضمن أكبر استفادة من الدالة الأسية يجب معرفة كيف تظهر في شكلها البياني ولكي نرسم الدالة الأسية يجب اختيار أحد الخيارين التاليين.
الخيار الأول يكون في حالة كون الأساس أكبر من رقم الواحد الصحيح، والخيار الثاني يكون في حالة كون الأساس أصغر من رقم الواحد الصحيح، وإليك شرح كيفية إتمام الرسم البياني للدالة الأسية في الحالتين:
- اولاً في حالة كون الأساس في الدالة أكبر من رقم الواحد الصحيح: في هذه الحالة من الدالة الأسية يزيد طول الرسمة البيانية
- G(x)=bوال b تكون مرفوعة للأس x
- كلما اتجه الخط ناحية اليمين وقَصُرَ طوله، كلما اتجه إلى جهة اليسار واقترب من المحور xوذلك دون أن يتم ملامستها.
- في حالة كون الأساس في الدالة أصغر من الواحد الصحيح لكن الأساس مازال موجباً، كلما اتجه الخط ناحية اليمين يزداد طوله ويتجه ناحية اليسار.
أنواع الدوال الرياضية
- اولاً الدالة الصريحة: وهي دالة رياضية نوع الاقتران فيها اقتران صريح.
- ثانياً الدالة الفردية: وهي دالة رياضية يكون نوع الاقتران فيها اقتران فردي.
- ثالثاً الدالة المتناقضة: وهي دالة رياضية الي يكون فيها نوع الاقتران اقتران متناقض.
- رابعاً الدالة المتطابقة: وهي دالة رياضية تكون العناصر المكونة لها مرتبطة ببعضها البعض.
- خامساً الدالة المستمرة: وهي دالة رياضية تتميز بكونها ذات شكلاً رياضياً أكثر من باقي الدوال الرياضية.
- سادساً الدالة الزوجية: وهي دالة رياضية يكون نوع الاقتران فيها اقتران زوجي ويكون لها شريكاً متعلق بالتماثل فيها.
- سابعاً الدالة الأسية: وهي دالة رياضية يشترط فيها كون القيم لا تساوي صفراً.
- ثامناً الدالة الضمنية: وهي دالة رياضية يكون نوع الاقتران فيها اقتران تضامني وفي الدالة متغيرات كثيرة.
- تاسعاً الدالة التزايدية: وهي دالة رياضية تتواجد في أكثر من شكل، قد تتواجد في صورة الدالة التربيعية او الدالة التكعيبية.
- عاشراً الدالة التحليلية: وهي دالة رياضية تتميز بأن شكلها تام ولها أشكال منها الدالة اللوغاريتمية، دالة المثلثات.
- اخيراً دالة الرفع.
مكتشف الدالة الأسية
- اكتشف الرياضي والفيزيائي ليونهارد أويلر الدالة الأسية، وهو عالم ولد في الخامسة عشر من شهر ابريل وذلك في عام 1707ميلادياً في مدينة بازل بدولة سويسرا.
- للعالم اويلر أثر عظيم في علم الرياضيات حيث أسهم باكتشافات غاية الأهمية مثل الحساب المتناهي في الصغر واكتشف نظريه المخططات.
- وترجع إليه معظم الرموز التي يتم استخدامها الآن في علم الرياضيات، وهو مؤسس علم التحليل الرياضي.
- كما كانت له إسهامات في علم الرياضيات فهو له إسهامات في علوم أخرى متنوعة مثل علم الطبوغرافيا، وعلم الفلك.
- وعلم الفيزياء وغيرهم من العلوم، حصل على جائزة الزمالة الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم.
- توفي العالم أويلر إثر إصابته بنزيف في المخ، وذلك في الثامن عشر من شهر سبتمبر في عام ١٧٨٣ ميلادياً.
- اي توفي عن عمر يناهز ستة وسبعون عاماً في مدينة سانت بطرسبرغ.
الدالة الرياضية في حياتنا
- يرى العديد من الناس خاصة الطلاب الذين يدرسون الدوال الرياضية ومنها الدالة الأسية أنها ليس لها فائدة في حياتنا اليومية.
- وذلك غير صحيح لأن الدوال الأسية لها دور كبير في تطور حياة الإنسان فهي تتواجد.
- وتستخدم في شؤون كثيرة منذ استيقاظ الإنسان من نومه مرورًا بأحداث يومه الكثيرة إلى أن يخلد الإنسان إلى النوم.
- ولكي تثبت قيمة الدالة الأسية في نفوسنا ونفوس الطلاب الذين يدرسونها والمجتمع قامت جامعة الملك عبد العزيز.
- بتنظيم معرض كبير يوضح أهمية الدوال في حياتنا، وحمل هذا المعرض اسم حياتنا دالة.
- وذلك لكي يجذب الانتباه ويدل على مدى تلاصق ووجود الدوال الرياضية في حياتنا، فيها تشبه حياة الفرد بأكملها بكونها الدال الرياضية في هذا المعرض.
- قامت رئيسة لجنة منتدى علم الرياضيات الدكتورة سلمى بإعطاء كلمة في المعرض توضح فيها ارتباط دالة المسافة بحياة الإنسان.
- واستيائها من رؤية البعض أن التطبيقات للدوال الرياضية في حياتنا معدودة وهذا اعتقاد خاطئ.
- وأضافت أن كل ناحية في حياتنا قائمة معتمدة على أحد الدوال الرياضية وأشارت الدكتورة أن المعرض قام بواسطة تجهيز 32 طالبة.
- ملتحقة بقسم الرياضيات في الجامعة، وذلك خلال مدة الفصل الدراسي الثاني كاملاً.
ومن هذه الدوال التي يتضح دورها وضوح الشمس في حياة الإنسان الدوال التالية:
أولًا دالة فوريار
- وهي أحد الدوال الرياضية التي يتم استخدامها في الرسوم الكرتونية.
ثانياً الدالة الأس الهيدروجيني
- وهي دالة رياضية يتم استخدامها في مجال التجميل ومجال الزراعة.
- اولاً استخدامه في مجال التجميل تستخدم في تحضير منتجات ومستحضرات تجميلية للبشرة.
- ثانياً في مجال الزراعة تستخدم الدالة في تحديد نوع التربة سواء كانت تربة حامضية أم تربة متعادلة.
- وذلك لتحديد نوع المحاصيل التي يجب زراعتها في التربة وإذا ما كانت التربة تحتاج إلى أسمدة زراعية أم لا.
ثالثاً الدالة اللوغاريتمية
- أضافت الطالبة سميرة الحارثي أن هذه الدوال مطابقة لعمل حواس الإنسان من سمع وبصر وغيرهم من الحواس.
رابعاً دالة الجاتا الرياضية
- اضافت الطالبة شذى السباعي أن هذه الدالة يتضح استخدامها في منحنيات الجسور التي تصل بين منطقة وأخري وهي معلقة في الهواء.
- ويمكن استخدامها أيضاً في صناعة عجلات للسيارات مربعة الشكل لكي يتم استخدامها في الشوارع الغير منظمة ذات الحفر والمطبات.
خامساً الدوال الجيبية
- وهي دالة رياضية يتم استخدامها في دول مختلف حول العالم لتعيين عدد ساعات في اليوم الواحد.
سادساً دالة الظل
- وهي دالة رياضية تعمل بنظامها كاميرا ساهر التي تستخدم في حساب السرعات الزائدة، وذلك عن طريق حساب المسافة المقطوعة والزمن الذي تم استغراقه لكي يتم قطعها.
- وذلك حسب سرعة تم تعينيها مسبقاً، وإذا نقص الوقت التي تم قطع المسافة فيه فإن ذلك يدل علي تجاوز السرعة المحددة.
- ولا تتوقف استخدامات وأهمية الدوال الرياضية في هذه الأمثلة، وذلك لأن عمل الدوال لا حصر له في مختلف أنحاء حياة الإنسان.
- ولا يدرك ذلك غير كل إنسان مفكر فيما حوله من حركات وعمل الأجهزة والاختراعات ومتأمل في نفسه.
كيفية معرفة أن المعادلة دالة
من الأسئلة التي تراود كثير من الطلاب والدارسين موضوع الدوال الرياضية هو كيفية معرفة ما إذا كانت المعادلة الرياضية.
تمثل في نفس الوقت دالة رياضية أيضاً، ويمكن الإجابة على هذا السؤال بطريقة واضحة وسهلة جداً كما يلي:
- في حالة احتواء المعادلة الرياضية على الرمز س والرمز ص أيضاً فهذا يعني أن المعادلة الرياضية تمثل دالة رياضية أيضاً في نفس الوقت.
- وفي حالة احتواء المعادلة الرياضية على رمز ص فقط ولا تحتوي المعادلة الرياضية على الرمز س فهي تمثل أيضاً دالة رياضية كما في الحالة السابقة.
- في حالة احتواء المعادلة الرياضية على رمز س فقط ولا تحتوي المعادلة الرياضية على رمز ص فهي لا تمثل دالة رياضية هي فقط معادلة.
- وذلك لأن المدخلات في هذه الحالة تساوي المخرجات لذا هي معادلة فقط.
بينما في حالة التمثيل البياني
- إذا تقاطع الخط مع التمثيل البياني للعلاقة الرياضية في أكثر من نقطة أي نقطتين فأكثر فإن العلاقة البيانية لا تمثل دالة رياضية.
- إذا لم يتقاطع الخط مع التمثيل البياني للعلاقة الرياضية لأكثر من نقطة أي نقطتين فأكثر فإن العلاقة البيانية تمثل دالة رياضية.
ويمكن تعيين الفرق بين الدالة والمعادلة من خلال مقارنة التعريف بكل منها:
- فالمعادلة: هي عبارة عن عبارتين رياضيتين بينهما علامة تساوي =.
- الدالة: هي العلاقة التي تربط بي كل عنصر من عناصر المجال بعنصر واحد من المجال المقابل أو المدى
- الدالة لا يمكن حلها جبرياً لذلك لا نجد سؤال يُطلب فيه من الطالب إيجاد مجموعة الحل للدالة لكن يطلب رسم منحني الدالة بينما المعادلة يتم حلها جبرياً ويطلب من الطالب إيجاد مجموعة حل المعادلة.
تعريف العلاقة الرياضية
يتم تعريف العلاقة الرياضية أي الدالة الرياضية كالآتي: هي العلاقة بين مجموعة العناصر التي تتواجد في المجموعة س إلى مجموعة الرموز التي تتواجد في المجموعة ص.
وذلك بشرط أن يرتبط كل عنصر موجود في المجموعة س مع عنصر واحد مع العناصر التي تتواجد في المجموعة ص، ويجب أيضاً تحقيق الشروط التالية:
- الشرط الأول في بيان الدالة في بيان الدالة: هو أن كل عنصر من عناصر المجموعة س.
- يخرج منه مسقط اي خط او علاقة واحدة مع عنصر من عناصر المجموعة ص.
- والشرط الثاني هو شرط الدالة في المخطط السهمي: وهو يتمثل في وجوب خروج سهم واحد.
- من أحد عناصر المجموعة س إلى عنصر واحد من عناصر المجموعة ص.
- الشرط الثالث هو شرط الدالة في المخطط البياني: يوجد على كل خط رأسي نقطة واحدة واقعة عليه من جميع النقاط التي تتمنى للدالة.
تعريف مدى تطبيق الدالة: هو مجموعة من الصور التي تتطابق تمامًا عناصر المجال.
قاعدة التطبيق: هي العلاقة التي بها يتم الربط بين كل عنصر من عناصر المجال بصورته في المجال المقابل.
وإليك بعض الملاحظات الهامة جداً:
- يتم تعيين التطبيق من خلال ثلاثة أشياء: أولًا تحديد مجال التطبيق ويرمز له بالرمز س، ثانياً تحديد المجال المقابل ويرمز له بالرمز ص.
- ثالثاً تحديد قاعدة التطبيق والتي تم شرحها مسبقاً ويرمز لها بالرمز (س)=ص.
- إذا كان التطبيق الذي يرمز له بالرمز ت يتم من جهة المجموعة س إلى المجموعة ص.
- فيتم كتابته كالتالي: ت: س ص ويمكن قراءته كالتالي تطبيق من المجموعة س إلى المجموعة ص.
- فمثلاً في وجود الزوج المرتب الآتي (س، ص) فإن العنصر ص في هذا الزوج المرتب يسمى صورة العنصر س.
كيفية إيجاد مجال الدالة
مجال الدالة: يتم تعريف مجال الدالة جبرياً كالآتي هو جميع الفترات التي يتواجد فيها الدالة معرفة، وللتوضيح يمكن ذكر التالي:
د(س)=س^٢ وبالتعويض نجد الآتي:
- د(-٩) =(-٩) ^٢=٨١.
- د(-٨) =(-٨) ^٢=٦٤.
- ود(-٧) =(-٧) ^٢=٤٩.
- د(-٦) =(-٦) ^٢=٣٦.
- د(-٥) =(-٥) ^٢=٢٥.
- ود(-٣) =(-٣) ^٢=٩.
- د(-٢) =(٢) ^٢=٤.
- د(-١) =(١) ^٢=١.
- ود(٠) =(٠) ^٢=٠.
- د(١) =(١) ^٢=١.
- د(٢) =(٢) ^٢=٤.
- ود(٣) =(٣) ^٢=٩.
- د(٤) =(٤) ^٢=١٦.
- د(٥) =(٥) ^٢=٢٥.
- د(٦) =(٦) ^٢=٣٦.
- ود(٧) =(٧) ^٢=٤٩.
- د(٨) =(٨) ^٢=٦٤.
- ود(٩) =(٩) ^٢=٨١.
وبالاستمرار في التعويض بأرقام فإننا نجد أنه يمكن التعويض بأي عدد طبيعي لذلك يكون مجال هذه الدالة هو ح.
الفرق بين الدوال والمتباينات
يمكن الاستدلال على الفرق بين الدالة والمتباينة من خلال التعريف كما يلي:
- الدالة الرياضية: هي عبارة عن علاقة بين مجموعة من العناصر.
- المتباينة: تحتوي المتباينة دالة خطية او العديد من الدوال الخطية، ويمكن التفريق بين الدالة والمتباينة أن الدالة.
- تشمل مجموعتين مجموعة في جهة اليمين ومجموعة في جهة اليسار بينهم علامة يساوي.
- بينما الدالة تشمل مجموعتين مجموعة جهة اليمين، ومجموعة جهة اليسار، ولكن بينهم علامة أكبر من.
- او علامة أصغر من، او علامة أكبر من او يساوي، او علامة أصغر من او يساوي
شاهد أيضًا: أهمية الرياضيات في حياتنا مختصر
تعتبر المتباينات فرع مهم جداً من فروع علم الجبر وله استخدامات عديدة كما للدالة استخدامات عديدة، والمتباينات أشكال مختلفة ومتعددة، للدوال خصائص منها خاصة الجمع والطرح.
خاصة التعدي، خاصية الضرب والقسمة، وخاصة دالة على طرفي المتراجحة.