بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الهندسية

بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الهندسية، يعتبر شرح المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كاملة وفهمهم، من أهم المواضيع في علم الرياضيات للوصول إلى استنتاجات تخدم العلوم الأخرى وترتبط بها، لذلك من السهل تناولها من خلال بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الهندسية.

بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الهندسية

1- تعريف المتتابعة

• فهي عبارة عن مجموعة من الأعداد، حيث أن كل عدد فيها له نمط مرتبط بما قبله وبما بعده.
• تتبع المتتابعات نمط معين وكذلك ترتيب خاص بحيث يحكم كل عدد فيها.
• وكل رقم فيها يسمى الحد.
• ويطلق لفظ متسلسلات على عدد من المجموعة الخاصة بالحد، حيث يوجد العديد من الأصناف المتعلقة بالحد وتوجد ما بين A3, A2, A3, فتوجد متتابعات ذات حدود أو بدون حدود.

1- مثال على المتتابعات

• إذا افترضنا أنه يوجد صناديق متتالية، وفى كل صندوق منها عدد من الكرات، يكون عندئذ ترتيب الصندوق هو رقم الحد وليس الصندوق نفسه، ويكون عدد الكرات الموجودة بداخل الصندوق هي قيمة الحد.
• أو إذا افترضنا أنه يوجد قطار به عشرين عربة، وبكل عربة عدد من الركاب، وتعتبر العربات هي أرقام الحد، وعدد الركاب هو قيمة الحد، فمثلا إذا وجد بالعربة رقم 15 حوالي 12 راكب، فإن رقم 15 يعتبر رقم الحد، أما عدد 12 فهو قيمة الحد.
• وإذا افترضنا وجود مجموعة كرات بداخل كل منها حلوى داخل صندوق وموضوعة في ترتيب معين، فكل كرة تسمى الحد، وتعتبر الحلوى الموجودة بداخلها هي قيمة الحد.

كما أدعوك للتعرف على: بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الهندسية وأشكالها

2- تعريف المتتابعة الحسابية

• حيث أنه لعمل بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الهندسية، فإن المتتابعة المنتهية وغير المنتهية تعرف بالمتتابعة الحسابية.
• وذلك عندما تزيد المتتابعة برقم ثابت فيكون الناتج عددا ثابتا عند طرح أي حد لاحق من الحد الذي يسبقه، فهذه هي المتتابعة الحسابية.
• وتعتبر المتتابعة حسابية إذا كان الفرق لجميع قيم n في المتتابعة، وr هو رمز للفرق الثابت، أو الأساس الثابت للمتتابعة.
• أما قانون إيجاد الحد في المتتابعة الحسابية هو (أن الحد النوني أو الحد الأول هو رقم الحد مطروحا منه 1, وr هو الفرق الثابت).
• ولتحديد ما إذا كانت المتتابعة حسابية أم لا يجب حساب الفرق بين الحدود باستخدام القانون (a2-a1) (a3-a2) (a4-a3).
• فإذا كان (a2-a1) = (a3-a2) = (a4-a3) تكون المتتابعة حسابية.
• أما إذا كان (a2-a1) ≠ (a3-a2) ≠ (a4-a3) تكون المتتابعة غير حسابية.
• تكتب المتتابعات المنتهية على شكل د {1،3،2،000، م} ← ح، وهي التي تنتهي بال N، أما المتتابعات غير المنتهية تكتب على شكل د: ط ← ح، وهي دالة مجال الأعداد الطبيعية ط، وتقع في مجالها المقابل للأعداد الحقيقية ح.
• تعتبر {حن} متتابعة حسابية إذا وجد عدد ثابت د حيث د = حن + 1- حن، وذلك لجميع قيم ن، وتسمى د أساس المتتابعة.

3- مثال تطبيقي على المتتابعة الحسابية

• فإذا كان مجموع ثلاثة حدود متتالية في متتابعة حسابية ما يساوى
• وحاصل ضربهما يساوي -42.
• فما هي الحدود الثلاثة؟
• فتكون الإجابة هي { -3 , 2 , 7}.

ولا يفوتك قراءة مقالنا عن: بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كامل

4- ملاحظات على المتتابعة الحسابية

• الحد النوني للمتتابعة الحسابية هو: حن = أ + (ن – 1) د، ويعتبر أ هو الحد الأول، أما د فهو أساس المتتابعة.
• تعتبر الأوساط الحسابية بين العددين أ، ب هي حدود المتتابعة، فيعتبر حدها الأول أ وحدها الأخير هو ب.
• مثال على الملاحظات: هل المتتابعة {حن} = {15,11,7,3, 00000} حسابية أم لا؟، وإجابتها أنها متتابعة حسابية لأن حن + 1 – حن = 4 لجميع القيم.

2- المتتابعات الهندسية

• فقد تكون منتهية أو غير منتهية، فسوف نتناولها بالتفصيل في بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الهندسية هذا.
• وتعتبر المتتابعة هندسية إذا وجد فيها عددا ثابتا، حيث أنه عند قسمة أي حد لاحق على الحد الذي يسبقه فإنه يتساوى مع هذا المقدار الثابت، وذلك لجميع قيم n، حيث يسمى r الفرق الثابت وهو أساس المتتابعة.
• وتعتبر المتسلسلة هي مجموع الحدود المتتابعة، والأوساط الحسابية هي الحدود الواقعة بين هذين الحدين.
• لإيجاد قيمة أي حد في المتتابعة الهندسية نستخدم القانون: الحد مطروحا منه 1، الفرق الثابت.
• ولمعرفة هل المتتابعة هندسية أم حسابية أم غير هندسية، سوف نرجع إلى النسبة ( )، وكذلك نسبة ( ), وأيضا ( ).
• مثال: إذا كان ( ) = ( ) = ( ), تكون المتتابعة هندسية.
• أما إذا كان ( ) ≠ ( ) ≠ ( ), تكون المتتابعة غير هندسية.

1- مثال لتوضيح هل المتتابعة هندسية أم لا

• نبحث هل المتتابعة {3, 6, 12, 00000} هندسية أم لا؟
• الحل
• تعتبر المتتابعة صحيحة وهندسية لأن قيمة النسبة الثابتة ( ) = ( ) = ( 2 ).
• مثال أخر
• أوجد الحد العاشر في المتتابعة التالية { , -1 , 2 , 0000 }.
• الحل
• تعتبر هذه المتتابعة هندسية، والحد الأول = .
• والنسبة الثابتة تبعا لها تكون = (- 1÷ =- 2).
• وتكون ( ح 10) = × – 92  =  × ( – 512 )  = 256.

اقرأ من هنا عن:بحث عن خصائص الأعداد الحقيقية بالتفصيل

2- ملاحظات على المتتابعات الهندسية

• الحد النوني للمتتابعة الهندسية هو حن = أ رن – 1, بحيث أن أ هو الحد الأول، أما ر هو أساس المتتابعة.
• وتكون الأوساط الهندسية بين العددين أ، ب هي حدود المتتابعة حيث أن حدها الأول هو أ، وحدها الأخير هو ب.
• فإذا كانت الأعداد أ، ب، ج هي عناصر متتابعة هندسية، يكون ب هو الوسط الهندسي، بحيث تكون أ/ب = ب/ج ← ب = زائد أو ناقص الجذر التربيعي ل أ × ج.

3- تمارين على المتتابعة الهندسية

• أوجد عدد الحدود المحصورة بين 13, 100 حيث أن كل الحدود يقبل القسمة على 6؟ (ن = 14 حدا والحد الأخير = 96).
• الحل
• تعتبر المتتابعة هندسية، حيث نستخدم ر = حن + 1 ÷ حن لجميع قيم ن، وتسمى ر أساس المتتابعة.
• مثال
• هل تعتبر المتتابعة التالية هندسية أم لا 3, 6, 12, 00000؟
• الحل
• تعتبر المتتابعة هندسية لأن حن + 1 ÷ حن = 2, لجميع قيم ن.

استخدام المتتابعات

• حيث أن لها نمط معين فهي تستخدم في كثير من العمليات المستخدمة في الإنشاءات، كما يعتمد عليها البناء الرياضي والكثير من التطبيقات الرياضية.
• ويكثر استخدامها في حالة الحاجة إلى جدولة الديون المتبقية على شخص ما، وكذلك حساب الأقساط، كما تستخدم في العمليات البنكية.

وبذلك فإن للمتتابعات الحسابية والهندسية أهمية كبيرة في كثير من المجالات، ويوجد منها أنواع مختلفة، كما أوضح البحث عن المتتابعات والمتسلسلات الهندسية، والأمثلة المختلفة التي وردت به والحلول التي تناولها البحث وذلك لتدريب القارئ وإيصال المعلومات الموجودة في البحث بوضوح.