موضوع تعبير عن الأعداد الأولية
موضوع تعبير عن الأعداد الأولية، تعتبر الأعداد الأولية من الأعداد الطبيعية التي تكون أكبر قطعًا من واحد، والتي لا تقبل القسمة إلا على ذاتها فقط وعلى واحد، وقد يسمى كل عدد طبيعي أكبر قطعًا من واحد وغير أولي عدد مؤلف.
فمثلًا: رقم خمسة هو يعد رقمًا أوليًا حيث أنه يقبل القسمة على واحد وعلى خمسة، أما رقم ستة هو من الأعداد المؤلفة التي تقبل القسمة على واحد وعلى أثنين وعلى ثلاثة وعلى ستة.
فقد يقوم البرهان الأساسي في الحسابيات أي الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد، حيث أن كل عددًا صحيحًا طبيعيًا أكبر قطعًا من واحد قد يساوي مجموعة وحيدة من الأعداد الأولية.
وذلك قد يغني عن ترتيب هؤلاء الأعداد داخل هذه المجموعة، فهذه المبرهنة سوف تلزم تحري رقم واحد من قائمة الأعداد الأولية.
محتويات المقال
مقدمة موضوع تعبير عن الأعداد الأولية
- الأعداد الأولية هي مجموعة أعداد غير منتهية حيث أنه من الممكن أن يتحدد العدد بطريقة سهلة وبسيطة ولكن هذه الطريقة تكون بطيئة.
- كما يطلق على هذه الطريقة القسمة المتكررة والتي قد تتمثل في قسمة هذا العدد على الأعداد التي تم حصرها.
- ما بين أثنين والجذر التربيعي للعدد المحدد، فقد توجد خوارزميات أخرى تكون أكثر فعالية من القسمة.
- والتي يتم استخدامها في العمل على تحديد الأعداد الكبيرة، وخاصة عندما يتعلق ذلك الأمر بأعداد على هيئة شكل خاص مثل أعداد ميرسين الأولية.
- حيث أنه في اليوم الواحد والعشرين من شهر ديسمبر في عام ألفين وثماني عشر، قد تم توفيق أكبر عدد أولي.
- قد تم الوصول إليه من 840.268.42 رقم، وفي هذا المقال سوف نوضح لكم معلومات كثيرة عن الأعداد الأولية.
شاهد أيضًا: موضوع عن الهندسة الفراغية في الرياضيات
الأعداد الأولية
- تعد مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة منتهية، وقد راهن أقليدس على هذا، ففي عام ثلاثمائة قبل الميلاد، لا يتم تعريف صيغة محددة كل قيمها عبارة عن عدد أولي.
- حيث أن توزيع الأعداد الأولية من الممكن أن تكون خاضعة للدرس وأن تكون حوله النظريات، فهناك مبرهنة قد تكون في هذه الناحية وهي مبرهنة الأعداد الأولية.
- وهي التي قد برهن عليها في أواخر القرن التاسع عشر والتي من المرجح أن يكون عددًا طبيعيًا، وتم اختياره بطريقة عشوائية.
- وقد يتناسب ذلك بشكل عكسي مع عدد الأرقام التي قد تحتوي عليها ذلك العدد أو أن هذه الأعداد تتلاءم مع اللوغاريتم الطبيعي للعدد n بصورة عكسية.
- حيث أن الأعداد الأولية تم وضعها تحت اختبارات وأبحاث متعددة، وقد يكون هناك الكثير من الأسئلة الرئيسية.
- مثل: فرضية ريمان وحدسية غولدباخ التي تقوم على أن العدد الزوجي هو أكبر قطعًا من رقم 2.
- ومن الممكن أن يتم كتابته على هيئة مجموع عددين أوليين، وحدسية الأعداد الأولية التوأم.
- وقد ينص ذلك على أن عدد الأزواج هي تعتبر من الأعداد الأولية والتي قد يكون الفرق بينهما مساوي لرقم أثنين.
- وهو من الأعداد الغير منتهي حيث أنه يوجد مسائل إلى الآن لا يتم حلها بالرغم من أن مر أكثر من قرن على وضعها.
- ويرجع السبب الرئيسي وراء ذلك إلى أن العلماء لا يفهموا طريقة توزيع الأعداد الأولية وذلك على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية.
- فكانت هذه العوائق هي سببًا في تطورات عديدة قد عرفتها نظرية الأعداد، وقد تستخدم الأعداد الأولية في الكثير من المجالات في تكنولوجيا المعلومات.
- مثل: التشفير عن طريق استخدام المفتاح المعلن، فقد يتم اعتماد ذلك بشكل أساسي على خصائص محددة مثل صعوبة تعميل الأعداد الكبيرة إلى جداء الأعداد الأولية.
تعريف وأمثلة
- يعتبر العدد رقم 21 هو من الأعداد الغير أولية، حيث أنه من الممكن ترتيب رقم 21 وكأنه عنصرًا من العناصر التي تكون على هيئة أعمدة متساوية قد يحتوي كل واحد منها على أربع عناصر ويكون ذلك شكل واحد بين الأشكال الأخرى.
- فقد لا يمكن ل 11 عنصر أن يكون ترتيبها على شكل أعمدة متساوية فقد يكون طول الواحد منها أكبر قطعة من واحد.
- ففي كافة الحالات قد يكون ذلك عددًا إضافيًا، ويكون العدد الطبيعي بشكل ما فإن كان هذه الأعداد الطبيعية قطعًا من واحد .
- حيث أن العدد نفسه، فالأعداد الطبيعية الأكبر قطعًا من واحد والغير أولية قد يطلق عليها أعداد مركبة .
- وقد لا يجب أن يتم مزج ذلك مع الأعداد المركبة والتي تسمى أيضًا الأعداد العقدية.
أمثلة
- وقد يكون من بين هذه الأعداد الطبيعية التي تكون محصورة بين رقم واحد وستة، والأعداد إثنين وثلاثة وخمسة أولية.
- أما الأعداد واحد وأربعة وستة، هي أعداد غير أولية، أقصى الواحد من قائمة الأعداد الأولية.
- العدد أثنين هو عدد أولي حيث أن القاسمين الوحيدين له هما واحد وأثنين نفسه، وثلاثة هو عدد أولي أيضًا لأن القاسمين الوحيدين.
- هما واحد وثلاثة نفسه، قسمة ثلاثة على أثنين تعطي باقيًا مساويًا لواحد.
- إذن فإن ثلاثة عدد أولي، وعدد أربعة عدد غير أولي لأنه بالإضافة إلى واحد وأربعة اللذان يتم قسمهما، فعدد أثنين يقسمه أربعة = 2.2، عدد خمسة هو عدد أولي.
- حيث أن العدد أثنين وثلاثة وأربعة قد لا يتم قسمهما، وستة عدد غير أولي لأنه يكون قابل القسمة على أثنين وثلاثة، حيث أن ستة= ثلاثة على أثنين.
- في كافة الأعداد الأولية ما عدا أثنين وخمسة، وقد تنتهي ب واحد وثلاثة أو سبعة أو تسعة، حيث أن جميع الأعداد التي قد تنتهي ب صفر.
- أو أثنين، أو أربعة، أو ستة، أو ثمانية، فهذه الأعداد تكون من مضاعفات العدد أثنين.
- فقد تسمى أعداد زوجية فليست بالتأكيد أنها أولية والأعداد خمسة فإنه لا يكون من الأعداد الأولية.
الأعداد الأولية المائة والثمانية والستون الأولي والأصغر من ألف هي الأرقام التالية:
2،3،5،11،31،71،91،32،92،13،73،14،34،74،35،95،16،76،17،37،97،38،98،79،101،301،701،901،311،721،131،721،131،731،931.
941،151،751،361،761،371،971،181،191،391،791،991،112،322.
722،922،332،142،152،752،362،962،172،772،182،382،392،703،113،313،713،133،733،743،943،353،953،763،373،973،373،973.
383،983،793،104،904،914،124،134،334،934،344،944،754،164،364.
764،974،784،194،994،305،905،125،325،145،745،755،365،965،175،775،785،395،995،106،706،716،916،136،146،346،356،166.
376،776،386،196،107،907،917،727،337،937،347،157،757،167.
967،377،787،797،908،118،128،328،728،928،938،358،758،958،368،778،188،728،938،358،758،958،368،778،188،388،788.
709،119،919،929،739،149،749،359،769،179،779،389،199،799،
ففي الأغلب قد يرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالرمز p.
شاهد أيضًا: بحث رياضيات عن ضرب العبارات النسبية وقسمتها ثاني ثانوي
الأعداد الأولية
- قد يرجع أهمية الأعداد الأولية في نظرية الأعداد وفي الرياضيات بوجه عام من المبرهنة الأساسية في الحسابيات.
- والتي قد تقوم على أن كل عدد صحيح يكون موجب هو أكبر من واحد قد يستطيع أن يتم كتابته على شكل جداء.
- أي أنه يتم ضرب العدد الأولي مثلًا رقم واحد أو مجموعة من الأعداد الأولية، فهذه المجموعة تكون وحيدة.
- من الممكن أن يتم اعتبار الأعداد الأولية هي الأساس التي تم بناء الأعداد الطبيعية عليه.
- فعلى سبيل المثال: 44232= 2.2.3.31.941= 2 تربيع.3.31.941.
وفي هذا المثال: 3×7=12
ففي المثال السابق قد يتكرر نفس العامل الأولي أكثر من مرة وقد تم تسمية عملية تحليل عدد n ما إلى ضرب عدد عوامل أولية، فمن الممكن إعادة صياغة المبرهنة الأساسية في الحسابيات كما يلي:
- العمل على تحليل عدد صحيح إلى عوامل وحيد وذلك إلى القيام بترتيب الأعداد الأولية في هذا التحليل.
- فقد تختلف الخوارزميات حتى يتم إيجاد هذا التحليل ولكن النتيجة تكون وحيدة ولا تكون متعلقة بالخوارزمية المستعملة.
- فإذا كان p عددًا أولي وكان يقسم b×a وذلك لعددين طبيعيين aو b.
- فذلك سوف يتم قسمته جداء، حيث أنه من الممكن أن يتم تقسيم aأو يقسم b.
- قد تسمى الخاصية بموضوعة في أقليدس، فقد تستخدم ذلك في بعض البراهين على وحدة تحليل عدد صحيح إلى جداء أعداد أولية.
هل العدد واحد هو من الأعداد الأولية؟
- أغلب الإغريق لم يعتبروا أن العدد واحد هو عدد، ولذلك فإنهم لم يعتبروه عدد أولي، ولكنه في القرن التاسع عشر.
- فسوف تم اعتبار هذا العدد من قبل مجموعة من العلماء الخاصة بالرياضيات أنه عدد أولي.
- فمثلًا: القائمة التي كونها ديريك نورمان ليهمر فيكون من الأعداد الأولية الأصغر من 127،600،01.
- وهو التي طبعت لآخر مرة في عام ألف تسعمائة وستة وخمسين.
- وقد ابتدأت العدد رقم واحد إلى القرن التاسع عشر، فكان علماء الرياضيات يعتبرون واحدًا عددًا أوليًا.
- حيث أن تعريف الأعداد الأولية كان في هذا الوقت هو كل عدد لا يكون قابل القسمة إلا على واحد وعلى نفسه.
- وقد يقال إن عالم الرياضيات هنري ليون لوبيغ هو آخر عالم الرياضيات قد أعتبر واحد عددًا أولي.
- وبالرغم من أن الجزء الكبير من الأعمال في الرياضيات فقد يبقى صحيحًا حيث أنه يعتبر رقم واحد عددًا أولي.
- ولكن المبرهنة الأساسية في الحسابيات لا تكون صحيحة، فمثال على ذلك: العدد خمسة عشر من الممكن أن تعمل إلى 3×5 أو إلى 1×3×5.
- فإذا كان واحد عددًا أولي فقد يكونا هذان الشكلان الاثنان مختلفان عن بعضهما البعض كما أنه ينص المبرهنة الأساسية بشكل خاطئ.
- فإن الأعداد الأولية تكون مجموعة من الخصائص لا يملكها العدد واحد.
- وذلك من بينها العلاقة التي تربط عددًا ما بقيمة دالة مؤشر أويلر، أو بدالة مجموع القواسم.
التاريخ
- من الممكن إيجاد كافة الأعداد الأولية إلى عدد طبيعي، فقد كان غربال اراتوستينس خوارزمية.
- حيث تم ابتكار ذلك في القرن الثالث قبل الميلاد وذلك من طرف إراتوستينس، رياضياتي قديم يوناني.
- وقد يشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى تعريف قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية: فقد يقوم بأخذ التحليل إلى كسر مصري.
- وذلك عن طريق شكلًا مختلًفا عندما يتم تطبيق الأعداد الأولية عن الشكل الذي يأخذه عندما يتم تطبيق ذلك على أعداد غير أولية.
- ومع هذا فإنه قد يبقى اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات بشكل جادي على ذلك.
- وقد قام عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس بدراسة الأعداد الأولية.
- وبالرغم من أن أي من المخطوطات التي لم توجد وقد أشار إليها علماء آخرون.
- وبعد الإغريق لم يحدث العديد حيث أنه فيما يتعلق بدراسة الأعداد الأولية إلى القرن السابع عشر.
- ففي عام ألف ستمائة وأربعين، قد قام بيبر دي فيرما مبرهنة فيرما الصغرى.
- وذلك بدون تقديم أي برهان عليها، برهن عليها فيما بعد من طرف لايبنتر وأويلر.
التاريخ
- فهي حالة خاصة من مبرهنة فيرما قد تكون قد عرفت من طرف الصينيين من قبل حدس فيرما أن كافة الأعداد الطبيعية على الشكل، 1+2تربيع.
- فتسمى هذه الأعداد بأعداد فيرما فهي أعداد أولية وقد تحقق ذلك إلى حدود 4= n.
- ولكنه عدد فيرما هو عددا يكون مؤلف يكون واحدًا من قواسمه الأولية 146، فقد اكتشفت ذلك أويلر فيما بعد ذلك.
- وفي الوقت الحالي لا يعرف عددًا أولي فما يكتب على شكل أعداد فيرما.
- فقد درست الكنيسة الفرنسية مارين ميرسين الأعداد الأولية على الشكل حتى يكون العدد p عددًا أولي.
- فقد سميت هذه الأعداد بأعداد ميرسن الأولية تكريمًا له.
- وقد أحتوى عمل أويلر في نظرية الأعداد على مجموعة من النتائج التي تتعلق بالأعداد الأولية.
- وقد برهن ذلك على أن المتسلسلة غير المنتهية نصف + ثلث + خمس + سبع فهي متسلسلة متباعدة.
- ويكون ذلك في عام ألف سبعمائة وسبعة وأربعين، وقد برهن على أن الأعداد المثالية الزوجية فتكون هي بالتحديد الأعداد الطبيعية التي.
- أما في عام ألف تسعمائة واحد وخمسين، كانت يعتبر أن الأعداد الأولية الكبيرة التي كانت متواجدة بسبب الحاسوب.
عدد الأعداد الأولية
- هناك عدد غير منتهي من الأعداد الأولية التي يتم توزيعها بشكل غير منتظم وبشكل آخر تعتبر المتسلسلة 2،3،5،7،11، 31.
- فلا تنتهي أو لا تتوقف فقد تسمى هذه المبرهنة، مبرهنة أقليدس تكريمًا للعالم الخاص.
- بالرياضيات الإغريقي أقليدس حيث أنه كان أول برهان مشهور ومعروف.
- فقد يعرف حاليًا براهين أخرى للا نهائية للأعداد الأولية ومنها برهان غولدباج.
- الذي يعتمد على أعداد فيرما وبرهان فورشتنبرغ، وذلك باستعمال الطوبولوجيا العامة وبرهان كومر الأنيق.
برهان أقليدس
- برهان أقليدس يعتبر كأنه مجموعة منتهية ما s، وذلك من الأعداد الأولية.
- حيث أن الفكرة الأساسية هي النظر إلى جداء كافة هذه الأعداد التي تم إضافة واحد إليه.
اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية
- قد يكون هناك الكثير من الاختبارات التي تكون معروفة أنها هل ذلك يكون عددًا معينًا ويكون عدد أولي أم لا.
- وأبسطها هي القسمة المتكررة ولكن هذه الطريقة تكون قليلة النفع والاستخدام حيث أن ذلك لكونها بطيئة لدرجة شديدة.
عن طريق القسمة المتكررة
- الطريقة الأكثر بساطة وسهولة، ومن هنا فقد تم تسمية ذلك القسمة المتكررة.
- والذي يتمثل في قسمة العدد n على كافة الأعداد الصحيحة الأكبر والأصغر.
- من الجذر التربيعي ل n، فإذا لم يتم إنتاج إحدى هذه القسمات باقيًا، حيث أن العدد n ليس بالأولي.
- إذا كان b×a=n، ويكون ذلك عددًا مؤلفًا، فأي أن العددين الطبيعيين a، b، قد يختلفان عن الواحد.
- حيث أن الأقل واحدًا من هذين العددين قد يكون أصغر من أو يساوي الجذر الاربيعي ل n، فعلى سبيل المثال إذا تم توفير 73=n.
- حيث أن القسمة المتكررة قد تخص الأعداد الطبيعية 2،3،4،5،6.
- فلا يقسم عدد من هذه الأعداد العدد سبعة وثلاثين، حيث أن العدد سبعة وثلاثين عدد أولي.
- فقد تطور هذه العملية حتى يكون ذلك أكثر فعالية وسرعة.
- وذلك فإن النظر إلى الأعداد الأصغر من الجذر التربيعي للعدد الذي يتم تحديده.
- فعلى سبيل المثال، بالنسبة للعدد سبعة وثلاثين فإنه قد يكفي النظر إلى الأعداد 2،3،5.
- وقد لا ينبغي النظر إلى العددين 4،6 لأنهما عددان غير أوليين.
الغرابيل
- حيث أن كافة الخوارزمية قد يتمكنوا من إيجاد كافة الأعداد الأولية الأصغر ما، حيث أن العدد يسمى غربالا.
- أقدم مثال على ذلك إن غربال إراتوستينس لكنه لا يستخدم إلا في حالة الأعداد الصغيرة، غربال أتكين أحدث منه.
- ولكنه يكون أكثر منه تعقيدًا ولذلك فهو أكثر منه سرعة، وقد يتم استخدام نظرية الغرابيل بطرق متشابهة من أجل عراقيل أخرى.
خصائص الأعداد الأولية
هناك خصائص للأعداد الأولية ومنها:
- أن كل عدد صحيح 1أكبر من n يكون له قاسم أولي.
- إذا كان الفرق بين عددين أوليين يكون مساويًا ل 2، فهذان العددان يسميان توأمًا أوليًا، 5و 7، من جهة.
- و11 و31 من جهة أخرى، هما توأمان أوليان، ذلك يسمى حدسية العددين الأوليين التوأم.
شاهد أيضًا: بحث عن التطابق للصف الاول الاعدادى doc
خاتمة موضوع تعبير عن الأعداد الأولية
في نهاية هذا البحث قد تعرفنا على الأعداد الأولية وما هي، وما هي الخصائص للأعداد الأولية، وما هي الغرابيل، وما هي القسمة المتكررة، ونتمنى قراءة ممتعة.