موضوع تعبير عن مساحة شبه المنحرف
موضوع تعبير عن مساحة شبه المنحرف، يعتبر شبه المنحرف واحدًا من أكثر الأشكال الهندسية الرباعية أهمية، والذي يحتوي على زوج واحدٍ من الجوانب المتوازية، واللذان يقومان بتمثيل قاعدتي شبه المنحرف.
في هذا المقال، سوف نتعمق في موضوع شبه المنحرف بالتفصيل، وسنخوض العديد من التجارب فيه، بالإضافة إلى مثال توضيحي، تابعوا موقع مقال للتعرف على موضوع تعبير عن مساحة شبه المنحرف.
محتويات المقال
ما المقصود بشبه المنحرف؟
في الهندسة الإقليدية، يشار إلى محدب رباعي الأضلاع، مع زوج واحد على الأقل من الجوانب المتوازية، باسم شبه منحرف (بالإنجليزية: Trapezoid).
وتسمى الأطراف المتوازية بقواعد شبه المنحرف، كما يسمى الجانبان الآخران بالأرجل أو الجوانب الجانبية لشبه المنحرف.
(إذا لم يكنا متوازيين، وإلا يوجد زوجان من القواعد)، أما بالنسبة لنوع شبه المنحرف الـ “Scalene” فهو شبه منحرف بدون جوانب متساوية في الأطوال، على النقيض من الحالات الخاصة أدناه.
كما يعرف شبه المنحرف أيضًا على أنه عبارة عن رباعي الأضلاع، مع زوج واحد من أضلاعه المتوازية (تعريف “بروكلس”).
وكان هذا هو المعنى المحدد في إنجلترا في القرنين السابع عشر والثامن عشر، ومرة أخرى الشعور السائد في الاستخدام الأخير، خارج أمريكا الشمالية.
شبه المنحرف مثل أي رباعي أكثر عمومية من متوازي الأضلاع، هو معنى المصطلح في “إقليدس”.
شاهد أيضًا: معلومات عن مساحة المستطيل
شبه المنحرف وعلاقته بـ متوازي الأضلاع
يوجد القليل من الخلاف فيما إذا كان الشكل المتوازي الأضلاع المحتوي، على عدد 2 زوج من الأضلاع المتوازية، أنه يفضل اعتباره على أنه شبه منحرف أم لا!
كما قام بعض العلماء بتعريف شبه المنحرف على أنه عبارة عن رباعي أضلاع يمتلك عدد 1 زوج فقط من الجوانب المتوازية (يسمى بالتعريف الحصري)، مما يؤدي إلى استثناء الأضلاع المتوازية.
بينما قام البعض الآخر من العلماء بتعريف شبه المنحرف، على أنه عبارة عن رباعي أضلاع يمتلك عدد 1 زوج من الجوانب المتوازية على الأقل (يسمى بالتعريف الشامل).
وبالتالي هذا يؤدي إلى جعل متوازي الأضلاع نوعًا خاصًا من شبه المنحرف، هذا التعريف الأخير يتناسب مع استخدامه في نوع الرياضيات العليا (التفاضل والتكامل).
ونحن هنا في هذا المقال، نقوم باستخدام التعريف الشامل، والذي يجعل متوازي الأضلاع نوعًا خاصًا من شبه المنحرف، وهذا ما يُدافع عنه أيضًا في تصنيف الجهات الرباعية.
بالإضافة إلى ذلك، تحت التعريف الشامل، جميع متوازيات الأضلاع (بما في ذلك المعينات، والمستطيلات والمربعات) هي شبه منحرف.
تحتوي المستطيلات على تناظر المرآة عند الحواف الوسطى، وتتميز المعينات بتناظر المرآة على القمم، في حين أن المربعات لها تناظر مرآة على الحواف المتوسطة والقمم.
حالات خاصة لشبه المنحرف
هناك بعض الحالات الخاصة التي تتعلق بأشكال شبه المنحرف، ويمكن تلخصيها في النقاط التالية، وهي:
- (1) شبه المنحرف الأيمن: والذي يسمى أيضًا بـ “شبه منحرف بزاوية قائمة”، وهو يحتوي على زاويتان قائمتان متجاورتان.
- ويستخدم شبه المنحرف الأيمن في قاعدة شبه المنحرف، لتقدير المساحات تحت المنحنى.
- (2) شبه المنحرف الحاد: يحتوي شبه المنحرف الحاد على زاويتين حادتين متجاورتين على حافة القاعدة الأطول.
- في حين أن شبه المنحرف المنفرج له زاوية حادة، وواحدة منفرجة على كل قاعدة.
- (3) شبه منحرف متساوي الساقين: وهو شبه منحرف حيث يكون لدى زوايا القاعدة نفس القياس، ونتيجة لذلك، يكون الساقان أيضًا متساويان في الطول، ولهما تناظر انعكاسي.
- وهذا ممكن أن يكون لشبه المنحرف الحاد أو شبه المنحرف الأيمن (مستطيلات).
- (4) متوازي الأضلاع هو شبه منحرف مع زوجين من الجوانب المتوازية: حيث يحتوي متوازي الأضلاع على تناظر دوراني مركزي (أو تناظر انعكاس نقطي).
- وبالتالي فإنه من الممكن الحصول على شبه منحرف منفرج أو شبه منحرف أيمن (مستطيلات).
- (5) شبه المنحرف التماسي: وهو شبه منحرف يحتوي على دائرة.
- يشبه الرباعي “Saccheri” شبه المنحرف في المستوى الزائدي، بزاويتين يمينتين متجاورتين، في حين أنه مستطيل في المستوى الإقليدية، وأن رباعي لامبرت في المستوى الزائدي له 3 زوايا قائمة.
حالة الوجود لشبه المنحرف
يمكن أن تشكل أربعة أطوال D، C، B، A الجوانب المتتالية لشبه منحرف غير متوازٍ مع a وb متوازي فقط، وذلك عندما:
الرباعي هو متوازي الأضلاع عندما: 0 = d -c = b -a، ولكنه يكون رباعي عرضي سابق (وهو ليس شبه منحرف) عندما: الخصائص، التي تجعل الشكل الرباعي المحدب شبه منحرف
بالنظر إلى الشكل الرباعي المحدب، فإن الخصائص التالية متكافئة، وكل منها يعني أن الرباعي هو شبه منحرف، وهذه الخصائص هي:
- له زاويتان متجاورتان مكملتان، أي أنها مجموع إضافتها يصل إلى 180 درجة.
- الزاوية بين الجانب والقطر تساوي الزاوية، بين الجانب المقابل والقطري نفسه.
- تقطع الأقطار بعضها البعض بنفس النسبة (هذه النسبة هي نفسها، بين أطوال الأضلاع المتوازية).
- أيضًا تقطع الأقطار الرباعية إلى أربعة مثلثات متشابهة.
- تقطع الأقطار الرباعية إلى أربعة مثلثات يتألف زوج واحد منها من مناطق متساوية.
- ناتج مساحات المثلثين التي شكلها قطر واحد يساوي ناتج مساحات المثلثات التي شكلها القطر الآخر.
- المساحات S وT لبعض المثلثين المتقابلين إلى المثلثات الأربعة، التي شكلتها الأقطار تفي بالمعادلة الآتية:
حيث أن “K” هو مساحة الشكل الرباعي.
- نقاط الوسط جانبين متقابلين تقاطع الأقطار متداخلة.
- القاعدة لزوايا في الشكل الرباعي ABCD تكون: Sin A Sin C = Sin B Sin D.
- جيب التمام لزاويتين متجاورتين يساوي 0، وكذلك جيب التمام الزوايا الأخرى.
- مجموع ظل التمام زاويتين متجاورتين يساوي 0، تمامًا مثل التمام زاويتين متجاورتين.
- يقسم أحد “المبيدين” الرباعي إلى قسمين رباعيين من المناطق المتساوية.
- ضعف طول “البيديان” الذي يربط نقاط المنتصف جانبين متقابلين يساوي مجموع أطوال الأضلاع الأخرى.
بالإضافة إلى ذلك، الخصائص التالية متكافئة، وكل منها يعني أن الجانبين المقابلين a وb متوازيين:
- الجوانب المتتالية d، c، b، a والأقطار p، q تفي بالمعادلة:
- والمسافة “v” بين نقاط المنتصف للأقطار تفي بالمعادلة:
تابع أيضًا: موضوع عن قانون حساب مساحة الدائرة
مساحة شبه المنحرف
يمكن الحصول على مساحة شبه المنحرف “K”، من خلال العلاقة التالية:
حيث أن “a” و”b” هي أطوال الجانبين المتوازيين، و”h” هي الارتفاع (المسافة العمودية بين هذين الجانبين)، و”m” هو الوسط الحسابي، لأطوال الجانبين المتوازيين.
في عام 499 بعد الميلاد، استخدم عالم رياضيات الفلكي الكبير من العصر الكلاسيكي للرياضيات الهندية.
وعلم الفلك الهندي “Aryabhata”، هذه الطريقة في “Aryabhatiya ” (القسم 2.8).
وينتج عن ذلك كحالة خاصة الصيغة المعروفة جيدًا لمساحة المثلث، من خلال اعتبار المثلث، بمثابة شبه منحرف منحط يتقلص فيه أحد الجانبين المتوازيين إلى نقطة.
استخلص عالم الرياضيات الهندي في القرن السابع “Bhāskara I” الصيغة التالية لمنطقة شبه منحرف بجوانب متتاليةb، c، a d:
حيث “a” وb” متوازيان و[b > a]؛ ويمكن حساب هذه الصيغة في نسخة أكثر تماثلًا مثل:
عندما تقلص أحد الجانبين المتوازيين إلى نقطة (وليكن: a = 0)، فإن هذه الصيغة تقلل إلى صيغة “Heron” لمساحة المثلث.
كما أن هناك صيغة أخرى مكافئة للمساحة، والتي تشبه إلى حد كبير صيغة “Heron”، وهي:
حيث أن [ (S = 1/2 (a + b + c + d ] هو نصف مقياس شبه منحرفP (هذه الصيغة تشبه صيغة “Brahmagupta”).
لكنها تختلف عنها، حيث أن شبه المنحرف قد لا يكون دوريًا (مدرجًا في دائرة)P، والصيغة هي أيضًا حالة خاصة من صيغة “Bretschneider” لرباعي عام).
ومن صيغة “Bretschneider “، يتبع ذلك:
- الخط الذي يصل نقاط المنتصف للأضلاع المتوازية، يقسم المساحة.
مثال على حساب مساحة شبه المنحرف
مثال 1
إذا كان هناك قطعة من الكرتون على شكل شبه منحرف، وكان طول القاعدة الأولى لهذه الكرتونة يساوي 4 سم.
وكان طول القاعدة الثانية يساوي 6 سم، بينما كان ارتفاع الكرتونة هو 3 سم، فما هي مساحة قطعة الكرتون هذه؟
الحل
من العلوم لدينا أن مساحة شبه المنحرف = 1/2 × [مجموع أطوال القاعدتين (“a + b”)] × الارتفاع (“h”)؛ وبالتالي فإن مساحة شبه المنحرف تعطى من العلاقة:
1/2 × (4 + 6) × 3 = K (مساحة شبه المنحرف) = 15سم²؛ أي أن مساحة القطعة الكرتونية هو 15سم².
اقرأ أيضًا: موضوع عن مساحة المربع
كان هذا موضوع تعبير عن مساحة شبه المنحرف يتم استخدام شبه المنحرف في العديد من التطبيقات، على سبيل المثال: في الهندسة المعمارية، حيث يتم استخدام الكلمة للإشارة إلى الأبواب والنوافذ والمباني المتماثلة التي يتم بناؤها على نطاق أوسع في القاعدة.