النهايات والاشتقاق في الرياضيات
النهايات والاشتقاق في الرياضيات، من المفاهيم الأساسية للتكامل وهو فرع من فروع مادة الرياضيات المختص بوصف الكيفيات وتتعلق بتغيير الأشياء وهي تبحث عن عمليات التغيير المستمر.
محتويات المقال
النهايات والاشتقاق في الرياضيات
- يعتبر الاشتقاق أحد مبادئ علم التفاضل ويقوم على دراسة المفاهيم الأساسية للكميات الصغيرة وتم بناؤها على بحث اشتقاق والدالة.
- الهدف من النهايات هو اقتران السلوك عندما تقترب القيم الخاصة بالمتغير س من عدد يتم التعبير عنها بالصيغة الرياضية نها ق (س) – أ وتعني نهاية الاقتران ق (س).
- إذا اقتربت قيم س من قيم أ يعتبر ذلك أن قيمة أ تمثل الأعداد الحقيقية.
- يجب أن تصبح النهاية موجودة ويتم تعريف الاقتران ق (س) على مدة مفتوحة ذات طول قصير كما يلي (أ – ج، أ + ج) وأن العدد أ و (ج) وتمثل إعداد حقيقية منتهية.
- لا يجب أن تعريف ق(س) عند العدد أ ولكن يجب أن يتوفر الشرط بحيث تكون قيمة النهاية في حالة الاقتراب من أ من ناحية اليسار تساوى قيمتها من ناحية اليمين.
- أم الاشتقاق العدد المشتق على الرسم البياني لدالة لها مثيرات وعدد من القيم الحقيقة في نقطة حيث يسمى بالمعامل الموجه للمماس.
- يتم التعبير عن المعدل الذي يحدث فيه تغير قيمة س تكون نتيجة القيمة المتغيرة ل (ص) وهي تربطهما دالة رياضية.
كما يمكنكم الاطلاع على: أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات
طريقة حساب النهايات جبرياً
أولاً
- النهاية عند نقطة لإيجاد lim f (X) نقوم بالتعويض المباشر حيث، العدد الحقيقي lim f (x) =وهي صيغة محدودة.
- والصيغة الغير محدودة lim f (x)=0÷0 وفي هذه الحالة نقوم بتحليل البسط والمقام واختصار العامل المشترك أو نقوم بإطلاق البسط والمقام واختصار العامل المشترك.
ثانياً
- النهاية عند اللانهاية أولاً نهاية كثيرة الحدود وهي وصف لسلوك منحناها أما أن يكون متزايداً أو متناقصاً.
- في النهاية عند اللانهاية نهاية الدوال النسبية عند اللانهاية نقارن البسط والمقام عندما يكون درجة البسط > من درجة المقام تكون النهاية غير محدودة.
- أما إذا درجة البسط =درجة المقام فأن النهاية = المعامل الرئيسي في البسط ÷المعامل الرئيسي في المقام.
- أما في حالة درجة البسط < درجة المقام تكون النهاية = صفر.
ثالثاً
- نهاية المتتابعات = نهاية الحد المتتابعة.
- أخيراً نهاية دالة المقلوب يمكن استعمال هذه الخاصية لحساب نهاية الدوال النسبية بقسمة كل حد من البسط والمقام على أعلى قوة لمتغير الدالة.
ما هي النهايات والاشتقاق؟
- النهايات أحد مبادئ التفاضل وهي تهتم بدراسة الاشتقاق من خلال دراسة المفاهيم الأساسية عن الكميات المتناهية في الصغر.
- لقد بني التفاضل على النهايات من أجل دراسة اشتقاق الدالة ويعد ذلك أن النهايات ترتبط بمفهوم الاشتقاق والعكس صحيح.
- أما الاشتقاق مرتبط ارتباط وثيق بالتغييرات التي تحدث على الدالة يعنى أنها سبب ومسبب الناتج مثلا 1 = X عندما Y=2 أي أن X لن تكون تساوي 1 إلا عندما Y=2 كمثال داخل دالة ما.
خصائص النهايات
- النهاية لمجموع اقترانين معا = مجموع نهاية كل منهم لوحده يعني أن نها س – أ هو ق (س) + ع (س) = نها س – أ ويعتبر ق (س) + نها (س) – أ ع (س).
- النهاية الثابت بتساوي الثابت نفسه يعني أن نها س – أج = ج وبما أن ج عدد ثابت ناتج عن ضرب الثابت × نهاية الاقتران = ناتج نهاية الثابت مضروب بالاقتران.
- يعني أن بالرياضيات إن نها س – أج X ق (س) = ج X نهاس – أق (س) X نهاس – أ وأن ق (س) X نهاس – أ ق(س) X نها س – أ ع (س).
- النهايات يتم توزيعها على عملية القسمة بحيث نهاس – أ ق (س) / ع (س) = نها س – أ ق (س) نها س أ ع (س) ويشترط ألا تكون نها س – أ ع (س) تساوى فر.
- نهاية الاقتران المرفوع لأس ما = ناتج رفع نهاية الاقتران لنفس الأس.
- بالصيغة الرياضة نهاس أ (ق (س) ن = نهاس – أ ق (س) ن ويكون نها س – أ س = أ ويعني ذلك أن نهاية الاقتران ق (س) = س وذلك باقتراب قيمة س من القيمة الأساسية فتساوى القيمة أ.
- النهايات يتم توزيعها على عملية الضرب عن طريق نها س← أ ق(س)×ع(س) = نها س← أ ق(س)×نها س← أ ع(س).
اقرأ أيضًا للتعرف على: العبارات التي تمثل وحيدات حد في الرياضيات
كيفية حساب النهايات
يوجد عدد من الطرق، وهي:
الطريقة الأولى
- طريقة التعويض يتم تعويض القيمة التي تقترب منها س في الاقتران كما ورد سابقاً ويمكن إيجاد قيمة ق(أ) لإيجاد ناتج النهاية.
- مثل لطريقة التعويض إيجاد قيمة نهاس←6 (س²-6س+8) /(س-4) ولإيجاد النهاية من خلال ق (6) = ((6) ²-(6×6) +8) / (6-4) = 3، ويعني ذلك نها س← 6 (س²-6س+8) /(س-4) = 3.
الطريقة الثانية
- هي طريقة التحليل إلى العوامل ويتم تحليل البسط، أو المقام أو كليهما إلى عوامل ثم يتم اختصار العوامل المشتركة من البسط مع المقام.
- يتم الحصول على قيمة النهاية من خلاله ذلك عن طريق التعويض فيه.
- مثال نهاس←5 (س²-6س+8) /(س-4) يتم التعويض بالعدد 5 في الاقتران ويتم الحصول على القيمة صفر÷ صفر وبالتالي يتم اللجوء إلى طريقة التحليل إلى العوامل.
- كما نهاس←5 (س²-6س+8) /(س-5) = نها س←5 (س-5) (س+2) /(س-5). باختصار الحد (س – 5) من البسط والمقام.
- يتم الحصول على نها س← 5 (س-2) وبعد ذلك يتم إيجاد ق (5)؛ أي استخدام طريقة التعويض فنحصل على ق (5) = 5-2 =3 أي أن قيمة نها س← 5 (س²-6س+8) /(س-5)=3.
الطريقة الثالثة
- طريقة الضرب بالمرافق يمكن استخدام هذه الطريقة عند وجود جذر تربيعي في البسط بحيث يوجد كثير الحدود في المقام.
- وفشل طريقة التعويض على الحصول على القيمة صفر في المقام وخلال هذه الطريقة يتم ضرب كل من البسط والمقام بمرافق الجذر ليتم الاستفادة من الخاصية (عدد√×عدد√ = عدد بدون جذر).
- مثال نهاس←13 ((س-4) √-3)/(س-13) نقوم بضرب البسط والمقام بالكسر ويتم من خلال ((س-4)√+3) بتجميع الحدود وتبسيطها نحصل علي نها س←13 (س-13)/ (س-13)×(س- 4)√+3).
- باختصار الحد (س-13) من البسط والمقام يتم الحصول علي نهاس←13 1/((س-4) √+3) نقوم بعد ذلك بالتعويض بالعدد 13 في الاقتران ويتم الحصول على القيمة: 1/6.
- يعني ذلك أن نها س←13 ((س-4) √-3) /(س-13) = نهاس←13 1/((س-4) √+3) = 1/6.
الطريقة الرابعة
- هي طريقة توحيد المقامات تُستخدم هذه الطريقة في حالة فشل طريقتي التعويض والتحليل إلى العوامل وفي حاله عدم وجود جذر تربيعي في المقام ووجود كسر في البسط.
- مثال نها س←0 [(1/(س+6)) -(1/6)]/س يتم توحيد المقامات للكسر الموجود في البسط.
- ويتم الحصول علي نها س←0 (6-(س+6)) /(6×(س+6))÷س = نهاس←0 -س/6(س+6)÷س = نهاس←0 -1/ 6×(س+6).
- ثم نقوم بتعويض قيمة س=0 ويكون النتيجة هي نها س←0 [(1/(س+6)) -(1/6)]/س = نهاس←0 -1/ 6×(س+6) = -1/36.
- قانون لوبيتال في هذا القانون نستخدمه عند حل النهايات ويستخدم عند فشل طريقة التعويض بطريقة تتمثل باشتقاق الاقتران.
- مثل نها س← أ ق(س)/د(س) = نها س← أ قَ(س)/دَ(س).
- بالمثال نجد أن نها س←0 هـ س-1-س-س2/2÷س3 وباشتقاق كل من البسط والمقام يكون الناتج نها س←0 هـ س-1-س÷3س
- وباشتقاق كل من البسط والمقام ينتج أن: نها س←0 هـ س÷6 ونقوم بتعويض قيمة س=0 يتم الحصول على نها س←0 هـ س÷6 = 1/6.
أهمية الاشتقاق والنهايات
- لهم أهمية كبيرة في الحياة يعتبر التفاضل والتكامل واحد من العلوم المهمة في حياتنا حيث تدخل في كل الأمور.
- يرتبط التكامل والتفاضل ارتباط كبير بعلم الفيزياء والميكانيكا ويعد من العلوم المختلفة الدليل على ذلك أن كان هناك خزان كبير من الماء ويوجد فيه ثقب فمن خلال التكامل نستطيع معرفة متى يفرغ هذا الخزان من الماء.
- نستطيع باستخدام هذا العلم يمكن تحديد سرعة السيارة في أي وقت.
تاريخ النهايات
- بدأت بداية النهايات بسبب الحاجة إلى وسيلة لحساب الأطوال والمساحات والأحجام.
- في القديم كان مفهوم النهايات المتعارف عليه هو عبارة عن تطوير طريقة الاستنفار التي تم التعارف عليها في العصر اليوناني القديم وأول من استخدمها هو أرخميدس ليتم حساب مساحة الدائرة.
التفاضل والتكامل في العصور الوسطى
- في عصر حسن بن الهيثم تم استمداد قيمة لصيغة مجموع القوة الرابعة وتم استخدام النتائج لتنفيذ ما يطلق عليه تكامل لهذه الوظيفة لحساب حجم القطعة المكافئ.
- في القرن 14 قام علماء الرياضيات الهنود بطريقة يراكمه تشبه التمايز وهي تنطبق على بعض الدوال المثلثية.
- حيث أصبحت النظرية معروفة للعالم أجمع باسم سلسلة تايلور أو السلسة التقريبية اللانهائية.
- لكن لم يتمكنوا من الجمع بين العديد من الأفكار المختلفة داخل إطار الموضوعين الموحدين للمشتق والمتكامل.
للمزيد من المعرفة اضغط هنا: تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة
في نهاية المقال قد تعرفنا على النهايات والاشتقاق في الرياضيات وعرفنا تاريخ النهايات عبر العصور وكيفية حساب النهايات بالطريقة الجبرية وخصائص النهايات والاشتقاق.