بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كامل
بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كامل ، سوف نتناول في البحث موضوع عن خصائص وأنواع المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كامل بشكل تفصيلي.
حيث انها من المواضيع الهامة في علم الرياضيات خاصة للطلاب في المراحل الإعدادية والثانوية، وهو موضوع سهل عندما نقوم بتناوله ببساطة وسهولة، البحث سوف نتناول كل نوع منهم مع طرح الأمثلة.
محتويات المقال
مقدمة عن بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كامل
شرح المتتابعات وفهمه له دور كبير في البناء الرياضي كما أنه يوجد الكثير من التطبيقات الرياضية التي تستخدم علم الرياضيات لإثبات أو الوصول الى استنتاجات تخدم العلوم الأخرى وترتبط بها، وسوف نتعرض إلى تعريف المتتابعات والمتسلسلات حيث لها نوعان وهما الحسابية والهندسية، لأنهم نوعان من أشهر أنواع المتتابعات والمتسلسلات.
شاهد أيضًا: بحث عن التبرير والبرهان في الرياضيات doc
تعريف المتتابعة
- المتتابعات هي مجموعة من الأعداد وكل عدد فيها لها نمط مرتبط بما قبله وما بعده، وفي العادة تتبع المتتابعات نمط معين وترتيب خاص يحكم كل عدد فيها، وكل رقم فيها يسمى رقم الحد.
- مثال على المتتابعات: لو افترضنا أن لدينا صناديق متتالية، ويوجد في كل صندوق منها عدد من الكرات، فيكون ترتيب الصندوق هو رقم الحد وليس الصندوق نفسه هو رقم الحد، وعدد الكرات التي توجد في داخل الصندوق تسمى قيمة الحد.
- أو لو افترضنا أن يوجد لدينا قطار ويوجد في القطار عشرين عربة، وفي كل عربة عدد من الركاب، وتعتبر العربات هي أرقام الحدود، أما عدد الركاب هو قيمة الحد، فمثلاً يوجد في العربة رقم 15 حوالي 12 راكب، رقم 15 هو رقم الحد وعدد 12 هو قيمة الحد.
انواع المتتابعات
- يوجد انواع للمتتابعات حيث يوجد المتتابعة المنتهية، وهي المتتابعة التي عدد حدودها يعبر عنه بالرمز n، وتكون دالة مجالها كما يلي: { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، … ، n }، ويكون مجالها المقابل هو ح.
- أما المتتابعة غير المنتهية هي الدالة التي توجد في مجال الأعداد الطبيعية التي يرمز لها بالرمز ط، ويكون مجالها المقابل هو الأعداد الحقيقية الذي يرمز له بالرمز ح.
تعريف المتسلسلات
المتسلسلة عبارة عن مجموع حدود المتتابعة، حيث أن المتسلسلة تتطلب وجود متتابعة، وقد شرحنا المتتابعة فيما سبق، والتعرف علي المتسلسلة لابد من التطبيق على المتتابعات.
حيث أن المتسلسلات عبارة عن جمع الحدود التي توجد في المتتابعة، وتوجد المتسلسلة على شكل أعداد متتالية أيضًا، كما هو الحال في المتتابعات.
تعريف المتتابعات الحسابية
- سواء كانت المتتابعة المنتهية أو كانت غير المنتهية فهي تسمى بـ المتتابعة الحسابية، وإذا وجدنا أن المتتابعة تزيد برقم ثابت حيث أن الناتج يكون عدداً ثابتاً عند طرح أي حد لاحق من الحد الذي يسبقه فهي متتابعة حسابية.
- عندما يكون الفرق لجميع قيم n في المتتابعة، والرمز r هو رمز للفرق الثابت أو الأساس الثابت للمتتابعة.
- وقانون إيجاد أي حد في المتتابعة الحسابية هو كما يلي: (الحد النوني أو نقول عليه الحد الأول هو رقم الحد مطروحاً منه 1 ، و r الفرق الثابت.
- وتحديد المتتابعة الحسابيّة لابد من معرفة إذا كانت المتتابعة حسابية أم لا عن طريق حساب الفرق بين الحدود بالقانون التالي: (a2-a1)، (a3-a2)، (a4-a3).
- إذا كان: ( (a2-a1)=(a3-a2)=(a4-a3 تكون المتتابعة حسابيّة، أما في حالة ان (a2-a1)≠(a3-a2)≠(a4-a3)، فإنّ المتتابعة تكون متتابعة غير حسابيّة.
- تكون المتتابعات المنتهية على الشكل: د {1، 2،3، …،م} ← ح، أما في المتتابعات غير المنتهية يكون: د : ط ← ح.
- تكون {حن } متتابعة حسابية إذا وجد عدد ثابت د بحيث د = حن +1 – حن، لجميع قيم ن وتسمى د أساس المتتابعة.
شاهد أيضًا: بحث عن البرهان الجبري كامل
مثال تطبيقي على المتتابعات الحسابية
- مثال: هل المتتابعة التالية التي نسميها {حن}= {15،11،7،3،…..} هل هي متتابعة حسابيّة أم لا؟ لنقوم الحل: علينا أن نحصل على القيمة الثابتة لجميع القيم في المتتابعة، ونجد أن الفرق بينهم مقدار متساوي وهو رقم (4)، وهي حسابية.
- مثال آخر علي نفس القانون: أوجد الحد الثالث عشر في المتتابعة الحسابيّة التالية: {1، -3، -7، -11،….}، الحل يكون كما يلي: أساس المتتابعة= (-3-1= -4) للحد الأول، إذن (ح13)= 1+ (13-1)×-4= 1+ (-48)= -47.
- مثال آخر للتوضيح: إذا كان مجموع ثلاثة حدود متتاليين في متتابعة حسابيّة ما يساوي 6، وكلن حاصل ضربها يساوي -42، فما هي الحدود الثلاثة؟ الحل يكون : {-3، 2، 7}.
بعض الملاحظات حول المتتابعة الحسابية
- الحد النوني للمتتابعة الحسابية هو: حن = أ + (ن – 1) د، أ هو الحد الأول، د هو أساس المتتابعة.
- وتكون الأوساط الحسابية بين العددين أ ، ب هي حدود المتتابعة حيث أن حدها الأول أ وحدها الأخير هو ب.
- أمثلة على الملاحظات: هل المتتابعة : {حن } ={15،11،7،3،…..} حسابية أم لا؟ المتتابعة حسابية لأن حن +1 – حن = 4 لجميع القيم.
- مثال اخر: أوجد الحد الثالث عشر (ح13) في المتتابعة الحسابية التالية: {1،-3،-7،-11،….} ، يكون أساس المتتابعة (د) = -3-1 = -4 ، اذن الحد الأول (أ) =1، إذن : ح13 = 1 + (13 – 1) × -4 = 1 + (- 48) = – 47.
- مثال للتوضيح إدخل خمسة أوساط حسابية بين العددين التاليين ليكون لدينا متتابعة حسابية، -13 ، 245 ؟. الحل: أ = -13 ، حن = 245 ، ن = 7 ، د = ؟ بالقانون، حن = أ + (ن – 1) د، 245 = -13 + (7 – 1) × د، إذن د = 43، إذن الأوساط هي : 30، 73، 116، 159، 202.
المتتابعات الهندسية
- المتتابعات الهندسية قد تكون متتابعة منتهية أو غير منتهية، وتسمى المتتابعة هندسية إذا وجدنا أن هناك عدداً ثابتاً فيها، بحيث يكون قسمة أي حد لاحق على الحد الذي يسبقه يتساوى مع هذا المقدار الثابت.
- لجميع قيم n ويسمى r هو الفرق الثابت أو هو أساس المتتابعة.
- ولإيجاد أي حد في المتتابعة الهندسية نستخدم قانون: الحد النوني الحد الأول، رقم الحد مطروحاً منه 1 ، الفرق الثابت.
- لتحديد إذا كانت المتتابعة هندسيّة أم حسابية أم أنها غير هندسية، علينا الرجوع إلى النسبة (a2/a1)، ونسبة (a3/a2)، ونسبة (a4/a3)، وهكذا يمكن النظر إلى المثال التالي: إذا كان: (a2/a1)=(a3/a2)=(a4/a3)، فإنّ المتتابعة تكون هندسيّة.
- أما في حالة ان (a2/a1)≠(a3/a2)≠(a4/a3)، فإنّ المتتابعة تكون غير هندسيّة.
- ولنضرب مثال هل المتتابعة التالية هندسيّة أم لا ننظر إلى هذه المتتابعة لنبحث هل هي هندسية ام لا {3، 6، 12،…..}؟ الحل يكون: أن المتتابعة صحيحة وهندسيّة لأنّ قيمة النسبة الثابتة (6/3)= (12/6) تساوي (2).
- مثال اخر: أوجد الحد العاشر في المتتابعة التالية: {2/1 ،-2،1،….}. الحل: هذه المتتابعة هندسيّة، والحد الأول= 2/1 ، والنسبة الثابتة وفقاً لذلك تكون = (-1÷ 2/1= -2)، إذن (ح10)= 2/1× -92= 2/1× (-512)= 256.
شاهد أيضًا: بحث عن حفظ الزخم والدفع
ملاحظات عن المتتابعات الهندسية
- الحد النوني للمتتابعة الهندسية هو: حن = أ رن – 1، حيث أ هو الحد الأول، ر هو أساس المتتابعة.
- الأوساط الهندسية بين العددين أ ، ب هي حدود المتتابعة التي حدها الأول هو أ، وحدها الأخير هو ب.
- إذا كانت الأعداد أ ، ب ، جـ عناصر متتابعة هندسية فإن ب هو الوسط الهندسي، حيث :
- أ/ب = ب/جـ ← ب = زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ أ×جـ .
تمارين على المتتابعة الهندسية
- أوجد عدد الحدود المحصورة بين 13 ، 100 وكل من الحدود يقبل القسمة على 6؟ ( ن = 14 حدا والحد الأخير = 96. الحل: المتتابعة هندسية ونستخدم ر = حن +1 ÷ حن، لجميع قيم ن وتسمى ر أساس المتابعة.
- مثال، قرر إذا كانت المتتابعة التالية هندسية أم لا : 3 ، 6 ، 12 ،….. ؟، المتتابعة هندسية لأن حن +1 ÷ حن = 2 ، لجميع قيم ن.
استخدام المتتابعات
- المتتابعات مجموعة من الأعداد لها نمط معين، وتستخدم في الكثير من العمليات التي تقوم عليها الإنشاءات، ويعتمد عليها البناء الرياضي وكذلك تدخل في الكثير من التطبيقات الرياضيّة.
- على سبيل المثال يكثر استخدام المتتابعات عندما نكون بحاجة الى جدولة الديون المتبقية على شخص ما، كما تستخدم المتتابعات لحساب الأقساط وتستخدم في غيرها من العمليات خاصة العمليات البنكيّة.
شاهد أيضًا: بحث عن التوزيع الالكتروني في الكيمياء
خاتمة عن بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كامل
هنا نكون قد وصلنا الى نهاية البحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية حيث تناولنا بعض الأمثلة للمتتابعة الحسابية و ضربنا الأمثلة على المتتابعة الهندسية.
كما تحدثنا عن استخدام المتتابعات وكيفية تطبيقها في الكثير من الأمور، وقمنا بطرح امثلة واسئلة ووضعنا لها الحلول لتدريب القارئ وايصال المعلومات في البحث بوضوح.